Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Позднее мы будем говорить о « волне электрического и магнитного полей, распространяющейся в пространстве», например о световой волне. Но это все равно, что говорить о волне , бегущей по веревке. Мы при этом не имеем в виду, что какая-нибудь часть веревки движется в направлении волны, а подразумеваем, что смещение веревки появляется сначала в одном месте, а затем в другом. Аналогично для электромагнитной волны — сама волна распространяется, а величина полей изменяется .

Так что в будущем, когда мы — или кто-нибудь еще — будем говорить о «движущемся» поле, вы должны понимать, что речь идет просто о коротком и удобном способе описания изменяющегося поля в определенных условиях.

Вы, вероятно, были обеспокоены сделанным нами упрощением, когда мы взяли одну и ту же скорость v для частицы и электронов проводимости в проволоке. Можно было бы вернуться назад и снова проделать анализ с двумя разными скоростями, но легче просто заметить, что плотность заряда и тока являются компонентами четырехвектора (см. вып. 2, гл. 17).

Мы видели уже, что если ρ 0есть плотность зарядов в их системе покоя, то в системе, где они имеют скорость v, плотность равна

В этой системе их плотность тока есть

(13.34)

Далее, мы знаем, что энергия U и импульс частицы р, движущейся со скоростью v, даются выражениями

где m 0— ее масса покоя. Мы знаем также, что U и робразуют релятивистский четырехвектор. Поскольку ρ и jзависят от скорости vв точности, как U и р, то можно заключить, что ρ и j также компоненты релятивистского четырехвектора. Это свойство есть ключ к общему анализу поля проволоки, движущейся с любой скоростью, и мы могли бы его использовать, если бы захотели решить снова задачу со скоростью частицы v 0, не равной скорости электронов проводимости.

Если нам нужно перевести ρ и jв систему координат, движущуюся со скоростью u в направлении х , то мы знаем, что они преобразуются в точности как t и ( х, у, z ); поэтому мы имеем (см. вып. 2, гл. 15)

(13.35)

С помощью этих уравнений можно связать заряды и токи в одной системе с зарядами и токами в другой. Взяв заряды и токи в какой-то системе, можно решить электромагнитную задачу в этой системе, пользуясь уравнениями Максвелла. Результат, который мы получим для движения частиц , будет одним и тем же, независимо от выбранной системы отсчета. Позже мы вернемся к релятивистским преобразованиям электромагнитных полей.

Мы закончим эту главу еще двумя замечаниями по вопросам магнитостатики. Первое: наши основные уравнения для магнитного поля

линейны по Bи j. Это означает, что принцип суперпозиции (наложения) приложим и к магнитному полю. Поле, создаваемое двумя разными постоянными токами, есть сумма собственных полей от каждого тока, действующего по отдельности. Наше второе замечание относится к правилам правой руки, с которыми мы уже сталкивались (правило правой руки для магнитного поля, создаваемого током). Мы указывали также, что намагничивание железного магнита объясняется вращением электронов в материале. Направление магнитного поля вращающегося электрона связано с осью его вращения тем же самым правилом правой руки. Поскольку Bопределяется правилом определенной руки (с помощью либо векторного произведения, либо ротора), он называется аксиальным вектором. (Векторы, направление которых в пространстве не зависит от ссылок на левую или правую руку, называются полярными векторами. Например, смещение, скорость, сила и E— полярные векторы.)

Физически наблюдаемые величины в электромагнетизме, однако, не связаны с правой или левой рукой. Из гл. 52 (вып. 4) мы знаем, что электромагнитные взаимодействия симметричны по отношению к отражению. При вычислении магнитных сил между двумя наборами токов результат всегда инвариантен по отношению к перемене рук. Наши уравнения, независимо от условия правой руки, приводят к конечному результату, что параллельные токи притягиваются, а противоположные — отталкиваются. (Попробуйте вычислить силу с помощью «правила левой руки».) Притяжение или отталкивание есть полярный вектор. Так получается потому, что при описании любого полного взаимодействия мы пользуемся правилом правой руки дважды — один раз, чтобы найти Виз токов, а затем, чтобы найти силу, оказываемую полем Вна второй ток. Два раза пользоваться правилом правой руки — все равно что два раза пользоваться правилом левой руки. Если бы мы условились перейти к системе левой руки, все наши поля Визменили бы знак, но все силы или (что, пожалуй, нагляднее) наблюдаемые ускорения объектов не изменились бы.

Хотя физики недавно, к своему удивлению, обнаружили, что не все законы природы всегда инвариантны по отношению к зеркальным отражениям, тем не менее законы электромагнетизма обладают этой фундаментальной симметрией.

В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:

(14.1)

и

(14.2)

На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом , а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал φ дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием φ. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля Всуществует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движущихся зарядов.