Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция Авдоль любой замкнутой петли Γ может быть выражена через поверхностный интеграл от ∇× Aс помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]

(14.10)

Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому

(14.11)

Итак, циркуляция Авдоль всякой петли равна потоку Всквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r' в плоскости, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что Аможно считать направленным по касательной и функцией только от r', то циркуляция будет равна

Как и раньше, получаем

В только что разобранном примере мы вычисляем векторный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.

Раз Вопределяется токами, значит, и Атоже. Мы хотим теперь выразить Ачерез токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2):

откуда, конечно, следует

Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение

(14.13)

для электростатики.

Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для φ, если переписать ∇×(∇× А), используя векторное тождество [см. уравнение (2.58) стр. 44]

(14.14)

Поскольку мы выбрали ∇· А=0 (и теперь вы видите, почему), уравнение (14.12) приобретает вид

(14.15)

Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения

и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению

(14.17)

Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного ρ, можно использовать для нахождения каждой компоненты А, когда известно j!

В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид

Тогда мы немедленно получаем общее решение для А x :

(14.18)

и аналогично для А у и A z . (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для r 12и dV 2.)

Фиг. 14.2. Векторный потенциал Ав точке 1 определяется интегралом по элементам тока jdV во всех точках 2.

Мы можем объединить все три решения в векторной форме:

(14.19)

(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет ∇· А=0, поскольку ∇· j=0, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.)

Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: x-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал φ, который был бы создан плотностью зарядов ρ, равной j x / c 2, и аналогично для у - и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента Ане связана таким же образом с «радиальной» компонентой j.) Итак, из вектора плотности тока jможно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту А, решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда ρ 1=j x/с 2, ρ 2=j у/с 2и ρ 3=j z/с 2. Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в ∇× А. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же . Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.

В качестве первого примера снова вычислим поле прямого провода, которое мы находили в предыдущем параграфе, пользуясь уравнением (14.2) и соображениями симметрии. Возьмем длинный прямой провод радиуса а , по которому течет постоянный ток I. В отличие от заряда в проводнике в случае электростатики постоянный ток в проводе распределен равномерно по поперечному сечению провода. При таком выборе координат, как показано на фиг. 14.3, вектор плотности тока jимеет только z-компоненту.

Фиг. 14.3. Длинный цилиндрический провод с однородной плотностью тока j, направленный вдоль оси z.

По величине она равна

(14.20)

внутри провода и нулю вне его.

Поскольку j х и j yоба равны нулю, то сразу же получим

Чтобы получить А z , можно использовать наше решение для электростатического потенциала φ от провода с однородной плотностью заряда ρ=j z/с 2. Для точек вне бесконечного заряженного цилиндра электростатический потенциал равен