Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

а это опять -μ В . Но теперь нам становится понятно, почему получается, что сила , действующая на небольшую токовую петлю, пропорциональна производной магнитного поля, как это следовало ожидать из

(15.11)

Другой наш результат состоит в следующем. Хоть и не исключено, что не все виды энергии вошли в формулу U мех= μ· B(ведь это просто некоторая имитация энергии), ею все же можно пользоваться, применяя принцип виртуальной работы, чтобы узнать, какие силы действуют на петли с постоянным током.

Теперь мы хотим пояснить, почему энергия U мех, о которой говорилось в предыдущем параграфе, не настоящая энергия, связанная с постоянными токами, почему у нее нет прямой связи с полной энергией всей Вселенной. Правда, мы подчеркнули, что ею можно пользоваться как энергией, когда вычисляешь силы из принципа виртуальной работы, при условии , что ток в петле (и все прочие токи) не меняется. Посмотрим теперь, почему же все так выходит.

Представим, что петля на фиг. 15.2 движется в направлении + х , а ось z примем за направление В. Электроны проводимости на стороне 2 будут испытывать действие силы, толкающей их вдоль провода, в направлении у . Но в результате их движения по проводу течет электрический ток и имеется составляющая скорости v y в том же направлении, в котором действует сила. Поэтому над каждым электроном каждую секунду будет производиться работа F y v y , где v y — компонента скорости электрона, направленная вдоль провода. Эту работу, совершаемую над электронами, мы назовем электрической . Оказывается, что когда петля движется в однородном поле, то полная электрическая работа равна нулю, потому что на одной части петли работа положительная, а на другой — равная ей отрицательная. Но при движении контура в неоднородном поле это не так — тогда остается какой-то чистый избыток одной работы над другой. Вообще-то эта работа стремится изменить поток электронов, но если он поддерживается неизменным, то энергия поглощается или высвобождается в батарейке или в другом источнике, сохраняющем ток постоянным. Вот именно эта энергия и не учитывалась, когда мы вычисляли U мехв (15.9), потому что в наши расчеты входили только механические силы, действующие на провод.

Вы можете подумать: но сила, действующая на электроны, зависит от того, насколько быстро движется провод; быть может, если бы провод двигался достаточно медленно, этой электрической энергией можно было бы вообще пренебречь. Действительно, скорость , с какой высвобождается электрическая энергия, пропорциональна скорости провода, но все же полная выделенная энергия пропорциональна к тому же еще и времени , в течение которого проявлялась эта скорость. В итоге полная выделенная электрическая энергия пропорциональна произведению скорости на время, а это как раз и есть пройденное расстояние. Каждому пройденному в поле расстоянию отвечает заданное, и притом одно и то же, количество электрической работы.

Возьмем кусок провода единичной длины, по которому течет ток I. Провод движется перпендикулярно самому себе и магнитному полю Всо скоростью v провод. Благодаря наличию тока сами электроны обладают скоростью дрейфа v дрейф вдоль провода. Компонента магнитной силы, действующей на каждый электрон в направлении дрейфа, равна q e v провод В . Значит, скорость, с какой производится электрическая работа, равна Fv дрейф=(q ev провод В ) v дрейф. Если на единице длины провода имеется N проводящих электронов, то вся величина электрической работы, производимой в секунду, такова:

Но Nq еv дрейфравно току I в проводе, так что

И поскольку ток поддерживается неизменным, то силы, действующие на электроны проводимости, не ускоряют их; электрическая энергия переходит не к электронам, а к тому источнику, который сохраняет силу тока постоянной.

Но заметьте, что сила, действующая на провод , равна IB ; значит, IBv провод— это механическая работа , выполняемая над проводом в единицу времени, dU мех / dt = IBv провод. Отсюда мы заключаем, что механическая работа перемещения провода в точности равна электрической работе, производимой над источником тока, так что энергия петли остается постоянной !

Это не случайность. Это следствие закона, с которым мы уже знакомы. Полная сила, действующая на каждый из зарядов в проводе, равна

Скорость, с которой производится работа, равна

(15.12)

Если электрического поля нет, то остается только второе слагаемое, а оно всегда равно нулю. Позже мы увидим, что изменение магнитных полей создает электрические поля, так что наши рассуждения применимы лишь к проводам в постоянных магнитных полях.

Но тогда почему же принцип виртуальной работы дает правильный ответ? Потому, что пока мы не учитывали полную энергию Вселенной. Мы не включали в рассмотрение энергию тех токов, которые создают магнитное поле, с самого начала присутствующее в наших рассуждениях.

Но представим себе полную систему, наподобие изображенной на фиг. 15.3,а, где петля с током I вдвигается в магнитное поле B 1 , созданное током I 2в катушке. ТокI 1, текущий по петле, тоже будет создавать какое-то магнитное поле В 2 близ катушки. Если петля движется, то поле В 2 изменяется. В следующей главе мы увидим, что изменяющееся магнитное поле создает поле Е, и это поле действительно начнет действовать на заряды в катушке. Эту энергию мы обязаны включить в наш сводный баланс энергий.

Фиг. 15.3. Вычисление энергии маленькой петли в магнитном поле.

Мы, конечно, могли бы подождать говорить об этом новом вкладе в энергию до следующей главы, но уже сейчас можно оценить его, если применить соображения принципа относительности. Приближаем петлю к неподвижной катушке и знаем, что электрическая энергия петли в точности равна и противоположна по знаку произведенной механической работе. Иначе говоря,