Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

есть четырехвектор. То, что мы называли скалярным и вектор­ным потенциалами, оказывается только разными частями от од­ной и той же физической величины. Они неотделимы друг от друга. А если это так, то релятивистская инвариантность мира очевидна. Вектор А m мы называем четырехмерным потенциалом (4-потенциалом).

В четырехмерных обозначениях (25.21) приобретает очень простой вид:

(25.22)

Физика этого уравнения та же, что и уравнений Максвелла. Но есть своя прелесть в том, что можно переписывать их в столь элегантной форме. Впрочем, эта красивая форма содержит и кое-что более значительное — из нее непосредственно видна ин­вариантность электродинамики относительно преобразований Лоренца.

Напомним, что уравнение (25.21) можно получить из урав­нений Максвелла только тогда, когда наложено дополнитель­ное условие градиентной инвариантности:

(25.23)

что означает просто СmAm =0, т. е. условие градиентной инвари­антности говорит, что дивергенция четырехмерного вектора А mравна нулю. Это требование носит название условия Лоренца. Такая форма его записи очень удобна, ибо она инвариантна, а поэтому уравнения Максвелла во всех системах отсчета сохра­няют вид (25.22).

§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда

Теперь выпишем законы преобразования, выражающие j и А в движущейся системе через j и А в неподвижной, хотя неяв­но мы уже говорили о них. Поскольку А m = (j, А) является четырехвектором, это уравнение должно выглядеть подобно (25.1), за исключением того, что t нужно заменить на j, а x — на А. Таким образом,

(25.24)

При этом предполагается, что штрихованная система координат движется по отношению к нештрихованной со скоростью v в направлении оси х.

Рассмотрим один пример плодотворности идеи 4-потенциала. Чему равны векторный и скалярный потенциалы заряда q, движущегося со скоростью v в направлении оси х! Задача очень упрощается в системе координат, движущейся вместе с заря­дом, ибо в этой системе заряд покоится. Пусть заряд находится в начале координат системы S', как это показано на фиг. 25.2.

Фиг. 23.2. Система отсчета S' движется со ско­ростью v (в направлении оси х) по отношению к системе S.

Заряд, покоящийся в начале системы координат S', нахо­дится в системе S в точке x=vt. Потенциалы в точке Р могут быть найдены для любой системы отсчета.

Скалярный потенциал в движущейся системе задается выраже­нием

(25.25)

причем r' — расстояние от заряда q до точки в движущейся си­стеме, где производится измерение поля. Векторный же потен­циал А', разумеется, равен нулю.

Теперь без особых хитростей можно найти потенциалы j и А в неподвижной системе координат. Соотношениями, обрат­ными к уравнениям (25.24), будут

(25.26)

Используя далее выражение для j'[см. (25.25)] и равенство А'=0, получаем

Эта формула дает нам скалярный потенциал j, который мы уви­дели бы в системе S, но он, к сожалению, записан через коорди­наты штрихованной системы. Впрочем, это дело легко попра­вимо; с помощью (25.1) можно выразить t', х' , у', z' через t, x, у, z и получить

(25.27)

Повторяя ту же процедуру для вектора А, вы можете показать,

что

А = vj. (25.28)

Это те же самые формулы, которые мы вывели в гл. 21, но там они были получены другим методом.

§ 6. Инвариантность уравнений электродинамики

Итак, потенциалы j.и А, оказывается, образуют в совокупно­сти четырехвектор, который мы обозначили через А m , а вол­новое уравнение (полное уравнение, выражающее А m через j m ) можно записать в виде (25.22). Это уравнение вместе с сохране­нием заряда (25.19) составляют фундаментальный закон электромагнитного поля:

(25.29)

И вот, пожалуйста, все уравнения Максвелла просто и красиво записываются всего в одной строке. Достигли ли мы чего-ни­будь, записав их в таком виде, кроме, разумеется, красоты и простоты? Прежде всего, есть ли здесь какое-нибудь отличие от того, что было раньше, когда мы выписывали их во всем разнообразии компонент? Можно ли из этих уравнений получить не­что, чего нельзя получить из волновых уравнений для потенциа­лов, содержащих заряды и токи? Ответ вполне определенный — конечно, нельзя. Единственное, что мы сделали — это изменили названия, т. е. использовали новые обозначения. Мы нарисо­вали квадратик для обозначения производных, но это по-преж­нему не более и не менее как вторая производная по t минус вторая производная по х, минус вторая производная по у, ми­нус вторая производная по z. А значок m, говорит, что у нас есть четыре уравнения, по одному для каждого из значений m =t, х, у или z. Какой же тогда смысл того, что уравнения можно записать в столь простой форме? С точки зрения получения чего-то нового — никакого. Хотя, возможно, про­стота уравнений и выражает определенную простоту природы. Сейчас я покажу вам нечто интересное, чему мы понемногу научились. Можно сказать, что все законы физики описываются

одним уравнением:

U=0. (25.30)

Не правда ли, удивительно простое уравнение! Конечно, нуж­но еще знать, что обозначает символ U. Это физическая ве­личина, которую мы будем называть «несообразностью» ситуации. У нас даже есть для нее формула. Вот как вычисляется эта несообразность: вы берете все физические законы и записы­ваете их в особой форме. Например, вы взяли закон механики F=ma и записали его в виде F-ma=0.

Теперь вы можете ве­личину (F-mа), которая, разумеется, в нашем мире должна быть нулем, назвать «несообразностью» механики. Затем вы бе­рете квадрат этой несообразности, обозначаете его через U 1и называете ее «механической несообразностью». Другими сло­вами, вы берете