Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

§ 3. Релятивистское преобразование полей

В предыдущем параграфе мы вычисляли электрическое и маг­нитное поля, исходя из трансформационных свойств потенциа­лов. Но, несмотря на приведенные ранее аргументы в пользу физического смысла и реальности потенциалов, поля все же важ­нее. Они тоже реальны, и для многих задач было бы удобно иметь способ вычисления полей в движущейся системе, если поля в некоторой «покоящейся» системе уже известны. Мы име­ем законы преобразования для j и А, поскольку А m представляет собой четырехвектор. Теперь нам хотелось бы найти законы преобразования Е и В. Пусть мы знаем векторы Е и В в одной системе отсчета. Как же они выглядят в другой системе, движущейся относительно первой? Здесь-то нам и понадобятся преобразования. Конечно, мы всегда можем сделать это через потенциал, но иногда удобно уметь преобразовывать поля непосредственно. Сейчас мы увидим, как это делается.

Как можно найти закон преобразования полей? Нам изве­стны законы преобразования j и А, и мы знаем, как выражаются поля через j и А, так что отсюда нетрудно найти преобра­зования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, напри­мер, с вектором Е можно связать некую величину, которая сде­лает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно СXА. Теперь мы знаем, что х -, у- и z -компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и t-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора С наряду с производными по х, у и z есть также производная по t. Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы произведем замену у на t, или z на t, или еще что-нибудь в этом духе.

Прежде всего обратите внимание на форму слагаемых, об­разующих компоненты В:

В слагаемые, образующие x-компоненту В, входят только z- и y-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комби­нацию производных и компонент «zy-штукой», или сокращенно F zy . Мы просто имеем в виду, что

(26.15)

Подобной же «штуке» равна и компонента В, но на сей раз это будет «xz-штука», а В z , разумеется, равна «yx-штуке». Таким образом,

(26.16)

Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа «t», т. е. F xt или F tz (ведь природа дол­жна быть красива и симметрична по х, у, z и t). Что такое, например, F tz ? Разумеется, она равна

Но вспомните, ведь A t = j , поэтому предыдущее выражение равно

Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти z-компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте произ­водная по t идет со знаком, противоположным производным по х, у и z. Так что на самом деле нам следует взять более умное обобщение, т. е. считать

(26.17)

Теперь она в точности равна — Е г . Так же можно построить F tx и F tv и получить три выражения:

А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа

т. е. просто нуль.

Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ни­чего нового, ибо

F xy = -F yx

и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комбина­ций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые представляют компоненты В и Е.

Чтобы записать члены F в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами m и v, каждый из которых может быть 0, 1, 2 или 3, обозначающих соответственно (как и в обычных четырехвекторах) t, x, у или z. Кроме того, все будет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными обозначениями, если F m v определить как

F m v=С mA v-С vA m, (26.19)

помня при этом, что

То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе су­ществуют шесть величин, которые представляют различные сто­роны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, кото­рые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как со­вершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки».

Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект F m v . Вот как обстоит дело в теории относительности. По­лученные результаты для F m v собраны в табл. 26.1.

Таблица 26.1 · компоненты f m v

Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свой­ства преобразования в точности такие же, как свойства преобра­зования двух векторов — обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному вектор­ному произведению в трехмерном пространстве, например к мо­менту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбина­ция (xv y —yv x ), а при движении в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали мо­ментом количества движения:

Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотво­рили в гл. 20 (вып. 2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искус­ственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент L tj (i и j равны х, у или z) ока­зался антисимметричным объектом, т. е.