Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Называя обнаружение закономерностей в изменении цен на фондовой и товарной биржах геометрической задачей, мы шутим лишь наполовину – финансовые разделы газет полны всевозможных опусов доморощенных «геометров», более или менее правдоподобно отображающих на своих диаграммах прошлое и претендующих на то, что они способны, исходя из геометрии этих построений, предсказать будущее.

В ответ на эти претензии у нас имеется контрдовод, впервые выдвинутый Луи Башелье еще в 1900 г.: построение диаграмм и графиков в данном случае бесполезно. В наиболее резкой форме его возражение звучит следующим образом: последовательные изменения цен статистически независимы. Если сформулировать мягче, то каждая цена определяется в результате «мартингального» стохастического процесса, т.е. рынок в этом смысле «совершенен»: все, что происходило в его прошлом, полностью игнорируется. Можно выразиться еще мягче: существование отклонений допускается до тех пор, пока они не превышают операционных издержек; такие рынки называются «эффективными». Понятие эффективности по Башелье оказалось как нельзя более точным.

Вот еще одно, более конкретное, утверждение Башелье: любая конкурентоспособная цена следует в первом приближении «одномерному броуновскому движению» B(t) . Здесь стоит вспомнить и о том, что столь фундаментальный для физики процесс был открыт не признанным в математическом сообществе математиком; подробнее я расскажу об этом в главе 40. К великому сожалению, когда в дело вступили реальные данные, оказалось, что B(t) представляет их весьма неудовлетворительно. В настоящей главе представлено альтернативное описание, построенное мною на основе скейлингового допущения (одного, кстати, из самых ранних, причем не только в экономике). Как выяснилось, описание это на удивление точно отражает реальное положение дел.

Мое простейшее анти – броуновское возражение основано на одном экспериментальном наблюдении, настолько простом и очевидном, что остается только удивляться, как нечто столь незамысловатое может оказаться столь фундаментальным. Впрочем, рассуждения, с помощью которых в предыдущих главах доказывалось, что в случае галактик D<2 , а в случае турбулентности D>2 , также удивительно просты и очевидны. Упомянутое незамысловатее наблюдение заключается в том, что для описания феномена, характеризующегося ярко выраженной дискретностью, нельзя использовать непрерывный процесс. Известно, что выборочные функции броуновского движения как раз и являются почти наверное и почти везде непрерывными. Однако цены на конкурентных рынках вовсе не обязаны быть непрерывными, и они явно дискретны. Единственная причина допущения непрерывности состоит в том, что многие науки, осознанно или нет, стремятся копировать процедуры, доказавшие свою эффективность в ньютоновской физике. Непрерывность вполне может оказаться разумным допущением при описании всевозможных «экзогенных» сущностей и процессов, которые применимы к экономике, но определены в чисто физических терминах. Цены в эту категорию никоим образом не вписываются: в механике просто нет ничего похожего, и она не может снабдить нас никакими указаниями на этот счет.

Типичный механизм ценообразования предполагает как знание настоящего, так и наличие прогноза на будущее. Даже в тех случаях, когда экзогенные физические факторы, определяющие цену, изменяются непрерывно, изменения прогнозов мгновенны и кардинальны. В ситуации, когда физический сигнал пренебрежимо малой мощности и длительности – «росчерк пера» - провоцирует столь резкое изменение прогнозов (причем дело усложняется тем, что не существует никакого учреждения, в задачу которого входило бы привнесение в процесс инерции), определенная на основе прогнозов цена может как упасть до нуля, так и вознестись до небес – с ней вообще может произойти все, что угодно.

Вряд ли кому-нибудь может показаться, что сама по себе идея о дискретности цен обладает какой бы то ни было предсказательной силой. Однако эта идея сыграла решающую роль в ниспровержении и последующем погребении метода торговли с применением «фильтров», изобретенного С. Александером [4]. В принципе, p - процентный фильтр представляет собой прибор, который постоянно отслеживает изменения цен, записывает все локальные минимумы и максимумы и дает сигнал о покупке, когда цена впервые достигает локального минимума плюс в точности p% , или о продаже, когда цена впервые достигает локального максимума минус в точности p% . Поскольку постоянное наблюдение не совсем практично, Александер предложил отслеживать только последовательность среднесуточных максимумов и минимумов, принимая как данность допущение, согласно которому изменение цен представляет собой непрерывную функцию. Применяемый в данном методе алгоритм отыскивает те дни, в которые максимум впервые превышает минимум какого-либо из предыдущих дней плюс p% . Предполагается, что в некоторый момент времени суток d цена в точности совпадает с упомянутым минимумом плюс p% ; именно в этой точке фильтр дает сигнал о покупке. Аналогичным образом выдаются сигналы о продаже. Александер пришел к эмпирическому заключению, что сигналы фильтра о покупке или продаже приносят бóльшую отдачу, чем обычная стратегия «купи и держи».

В действительности же, как я указывал в [341] (с. 417), 24 – часовые сутки, на которые приходится сигнал фильтра о покупке, окажутся, скорее всего, именно теми сутками, в течение которых происходит значительный общий рост цен. Многие такие сутки характеризуются резким подъемом (в буквальном смысле, взлетом) цен, который происходит либо за ночь, либо за те периоды, когда торговые операции приостанавливаются в дневное время по инициативе правления биржи. Таким образом, фильтр Александера должен выдавать сигнал о покупке как раз в те моменты, когда он, скорее всего, окажется «выключен»! Он, разумеется, выдаст соответствующий сигнал, как только его снова «включат», однако покупная цена в этот момент наверняка окажется значительно выше, чем рассчитывал Александер.

Еще один возможный вариант: часто бывает так, что изменения цен остаются более или менее непрерывными в результате преднамеренных действий какого-нибудь биржевого маклера, выполняющего свои должностные обязанности, заключающиеся в поддержании равновесия между покупателями и продавцами и в «обеспечении непрерывности рынка», и покупающего или продающего из своего собственного кармана. Когда такому маклеру не удается обеспечить непрерывность, он обязан предоставить правлению письменное объяснение, поэтому маклеры обычно предпочитают сгладить образовавшуюся разрывность искусственным образом. Разумеется, получаемые при этом прибыли делятся между приятелями, тогда как остальным клиентам приходится покупать по более высокой цене.