Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Получение обобщенного закона Ципфа в простейшем случае.[323, 350, 358]. Простейшее масштабно-инвариантное дерево соответствует повествованию, которое представляет собой последовательность статистически независимых букв, причем вероятность употребления каждой правильной буквы составляет r<1/N , а вероятность употребления неправильной буквы «пробела» равна остатку (1−Nr) . В этом случае k - й уровень обладает следующими свойствами:

P=(1−Nr)r k =P 0 r k ,

а величина ρ заключена между границей

1+N+N 2+...+N k−1=(N k−1)(N−1)

(исключая саму границу) и границей

(N k+1 −1)/(N−1)

(включая границу). Записав

D= ln N/ ln (1/r)<1 и V=1/(N−1)

и подставив в каждое граничное выражение

k= ln (P/P 0 )/ ln r ,

получим

P −DP 0 D−1<���ρ/V≤N(P −DP 0 D)−1 .

Искомый результат находим, аппроксимируя ρ с помощью среднего значения его границ.

Обобщение.Можно построить и более сложные масштабно-инвариантные деревья, соответствующие последовательностям букв, порождаемым стационарными случайными процессами (марковскими цепями, например) и разделенными впоследствии пробелами на слова. Рассуждение становится более сложным [326], однако результат остается неизменным.

Обратное утверждение.Следует ли из данных Ципфа, что лексикографическое дерево, построенное из обычных букв, является масштабно-инвариантным? Разумеется, нет: многие короткие последовательности никогда не встречаются в языке, в то же время многие длинные последовательности употребляются довольно широко. Следовательно, реальные лексикографические деревья далеки от строгой масштабной инвариантности, однако вышеприведенное рассуждение, по сути, достаточно хорошо объясняет, почему выполняется обобщенный закон Ципфа. Можно также упомянуть и о том, что закон Ципфа первоначально рассматривался как весьма многообещающий вклад в лингвистику – впрочем, как показывает мое объяснение, с лингвистической точки зрения закон этот очень поверхностен.

Обобщенный закон Ципфа также выполняется внутри определенных ограниченных словарных составов. Например, специалисты в области одной эзотерической дисциплины, называемой агиоантропонимией и занимающейся исследованием случаев использования имен святых для именования обычных людей (см. [322]), установили, что к таким именам закон Ципфа вполне применим и к фамилиям. Означает ли это, что соответствующие деревья масштабно - инвариантны?

Показатель D есть фрактальная размерность.Мы заметили, что показатель D формально является фрактальной размерностью. Это наблюдение не столь поверхностно, как может показаться. В самом деле, если перед словом (в том виде, в каком мы его определили) поставить десятичную запятую, то это слово окажется ничем иным, как числом в интервале от 0 до 1, записанным в системе счисления с основанием (N+1) и содержащим нули только в конце. Отметим такие числа на интервале [0,1] и добавим сюда предельные точки этого множества. Построение, в сущности, сводится к удалению из интервала [0,1] всех чисел, содержащих нули в иных, кроме конца, позициях. В результате получаем канторову пыль, фрактальная размерность которой в точности равна D .

Что же касается других, отличных от простейших, масштабно-инвариантных лексикографических деревьев, к которым мы обращались выше за обобщенным доказательством закона Ципфа, то они аналогичным образом соответствуют обобщенным канторовым множествам с размерностью D . Уравнение для D в [326] представляет собой матричное обобщение определения размерности подобия с помощью равенства Nr D =1 .

Дальнейшее обобщение: случай D>1 .Любопытно, что условие D<1 вовсе не является универсальным. Примеры, в которых обобщенный закон Ципфа выполняется, но оценка размерности D удовлетворяет неравенству D>1 , весьма редки, однако, несомненно, имеют место. Для описания роли особого значения D=1 допустим, что закон P=F(ρ+V) −1/D выполняется только до некоторого значения ρ=ρ * ≤∞ . При D<1 не возникает никаких трудностей с составлением бесконечных словарей, предполагаемых вышеприведенными теоретическими рассуждениями. Однако при D≥1 бесконечный ряд ∑(ρ+V) −1/D расходится. Следовательно, согласно условиям ∑P=1 и F>0 , величина P * должна быть конечна, т.е. словарь должен содержать конечное число слов.

В самом деле, размерность D>1 , как выясняется, встречается только в тех случаях, когда словарь противоестественным образом ограничен какими-то внешними искусственными средствами (как, например, в случае вставок латинским шрифтом в нелатинский текст). Такие особые случаи рассматриваются в моих статьях, посвященных этой теме. Поскольку построение, ограниченное конечным количеством точек, не может дать фрактального множества, величину D>1 не следует интерпретировать как фрактальную размерность.

Вышеописанные отклонения допускают на мгновение совершенно иную интерпретацию, идею которой мы позаимствовали в статистической термодинамике. Аналогами физической энергии и физической энтропии послужат стоимость кодирования и информация Шеннона. А показатель D выступит в роли «температуры повествования». Чем «горячее» речь, тем больше вероятность употребления редких слов.

Случай D<1 соответствует стандартному случаю, в котором формальный эквивалент энергии не ограничен сверху.

С другой стороны, случай, в котором слова настолько «горячи», что это приводит в результате к D>1 , предполагает в высшей степени необычное наличие у энергии конечной верхней границы.

Вскоре после того, как я описал эту резкую дихотомию в терминах лингвистической статистики, независимо от меня был найден ее физический аналог. Обратная физическая температура 1/θ имеет наименьшее значение – и даже обращается в нуль, - когда тело нагрето до наивысшей температуры. Норманн Рэмзи предположил, что если тело подвергать дальнейшему нагреву, величина 1/θ должна стать отрицательной. Обсуждению этого параллелизма посвящена моя статья [360].

В термодинамике объемные свойства объектов выводятся на основании микроканонической равно вероятности. Поскольку молекулы мы в лицо не различаем, допущения касательно их возможных состояний не вызывают у нас сильных эмоций, однако слова обладают ярко выраженной индивидуальностью, поэтому при изучении языка допущение о равновероятности вряд ли будет имеет успех.