Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Броуновский мост.«Лишенный тренда» осциллирующий член B B (t) тождествен по своему распределению броуновскому мосту, определяемому как броуновская функция из прямой в прямую, ограниченная условием B(2π)=B(0) .

Ошибочное исключение тренда.Сталкиваясь с выборками неизвестного происхождения, многие статистики – практики, работающие в экономике, метеорологии и других подобных областях, спешат разбить их на тренд и осцилляцию (и еще добавочные периодические члены). Тем самым они имплицитно допускают, что получаемые при этом слагаемые можно приписать различным порождающим механизмам, и что эти слагаемые статистически независимы.

Последнее допущение можно признать обоснованным только в том случае, если выборка порождена броуновской функцией B(t) .

Броуновский мост с петлями.Возьмем периодическую функцию от t , которая на временнóм промежутке 0 совпадает с броуновским мостом B B (t) , и выберем случайным образом (равномерно) приращение Δt на интервале [0,2π]. Функция B B (t+Δt) статистически стационарна (см. раздел стационарность) и может быть представлена как случайный ряд Фурье – Броуна – Винера. Коэффициентами являются независимые гауссовы случайные величины, причем их фазы полностью случайны, а модули пропорциональны n −1 (т.е. f −2 ), а совокупная спектральная энергия в области частот, превышающих f , пропорциональна f −1 .

Практическое следствие, касающееся моделирования.Моделирование функции B(t) неизбежно производится на конечном временнóм промежутке. Если в качестве такого промежутка взять интервал [0,2π], то можно использовать при моделировании дискретные конечные методы Фурье. Сначала с помощью быстрого преобразования Фурье вычисляется броуновский мост, а затем добавляется необходимый случайный тренд.

Литература.Книга Пейли и Винера [461] знаменита своей неумолимой алгеброй. Однако в главах IX и X этой книги имеются очень основательные пояснительные параграфы, которые, несомненно, стоит прочесть. Могу порекомендовать также монографию Каана [248], но только математикам, так как полученные в ней результаты простыми словами не объясняются.

Броуновский мост с нечетными петлями.Функции B O(t)=½[B B(t)−B B(t+π)] и B E(t)=½[B B(t)−B B(t+π)] представляет собой суммы гармонических составляющих мостовой функции B B (t) с нечетными и с четными номерами, соответственно. Достоинство нечетной суммы состоит в том, что ее можно получить непосредственно из белого гауссова шума B'(t) , построенного на окружности:

B O(t)= −π∫ 0B'(t−s)ds− 0∫ πB'(t−s)ds .

Броуновская функция из прямой в окружность.Возьмем броуновскую функцию B(t) , отбросим ее целую часть, и умножим дробный остаток на 2π . Результат определяет положение точки на единичной окружности. Эта броуновская функция из прямой в окружность упоминается здесь, в основном, для того, чтобы никто не перепутал ее с какой-либо из вышеописанных, весьма отличных от нее, функций.

Для определения этой функции (обозначим ее B H (t) ) возьмем обыкновенную броуновскую функцию из прямой в прямую и изменим значение показателя H с ½ на любое вещественное число, удовлетворяющее неравенству 0 . Функции с H≠½ оказываются вполне дробными.

Все функции B H (t) непрерывны и недифференцируемы. Самое раннее упоминание о них я нашел в статье Колмогорова [275] 1940 г. Ссылки на другие разрозненные источники, а также описание различных свойств этих функций собраны в [404]. См. также [292].

Корреляция и спектр.Очевидно, что <[B H(t+Δt)−B H(t)] 2>=|Δt| 2H . Спектральная плотность функции B H (t) пропорциональна f −2H−1 . Показатель не является целым числом – в этом и заключается одна из нескольких причин, побудивших меня предложить для обозначения функций B H (t) термин дробные.

Дискретный дробный гауссов шум.Этот шум определяется как последовательность приращений функции B H (t) на последовательных единичных временных интервалах. Его корреляция равна

2 −1[|d+1| 2H−2|d| 2H+|d−1| 2H] .

Долгосрочная корреляция. Персистентность и антиперсистентность.Положим B H (0)=0 и определим предыдущее приращение как − B H (−t) , а последующее приращение как B H (t) . Имеем

<���−B H(−t)B H(t)>=2 −1{<[B H(t)−B H(−t)] 2>}−2<[B H(t)] 2>

=2 −1 (2t) 2H −t 2H .

Разделив результат на H(t) 2>=t 2H , получим корреляцию, которая оказывается независимой от t : она равна 2 2H−1 −1 . В классическом случае H=½ корреляция, как и ожидалось, обращается в нуль. При H>½ корреляция положительна, выражает персистентность и при H=1 возрастает до единицы. При H<���½ корреляция отрицательна, выражает антиперсистентность и при H=0 уменьшается до − ½ .

То, что эта корреляция не зависит от t и в тех случаях, когда она не обращается в нуль, является очевидным следствием самоаффинности функции B H (t) .

Однако при изучении случайности многие начинают с того, что очень удивляются и / или / даже расстраиваются, впервые столкнувшись с тем фактом, что корреляции прошедших и будущих событий могут быть независимы от времени, не обращаясь при этом в нуль.

Практическое следствие для моделирования.При генерации случайной функции для всех целочисленных значений времени в интервале от t=0 до t=T выбор алгоритма, как правило, не зависит от значения T ; алгоритм выбирают заранее, а затем выполняют его требуемое количество раз. Алгоритмы, необходимые для генерации дробных броуновских функций, имеют существенное отличие: они неизбежно зависят от T .

Описание быстрого генератора дискретных приращений функции B H (t) есть в моей статье [364]. (В эту статью вкралась одна весьма досадная опечатка: в первой дроби на с. 545 следует убрать из числителя единицу и поместить ее перед всей дробью.)

Фрактальные размерности.Для графика D=2−H . Для нуль – множества и других множеств уровня D=1−H . См. [3].

Дробные броуновские функции из окружности в прямую гораздо более изощрены, чем функции, описанные в подразделе 4. Простейшая из них представляет собой сумму дробного ряда Фурье – Броуна – Винера, который, по определению, имеет независимые гауссовы коэффициенты и полностью случайные фазы, причем модули коэффициентов пропорциональны n −H−½ . Дробная броуновская функция из тора в прямую представляет собой сумму двойного ряда Фурье с такими же свойствами.