Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Предыдущая аналогия становится особенно уместной в рамках определенных обобщенных подходов к термодинамике. Рискуя заслужить обвинение в чрезмерном цитировании работ, имеющих лишь косвенное отношение к настоящему эссе, все же скажу: один из таких формализмов я рассматривал в статьях [339, 344].

Еще один пример абстрактного масштабно-инвариантного дерева можно обнаружить в организационных структурах иерархических групп людей. Признаками простейшей масштабно-инвариантной иерархии являются следующие: а) ее члены распределены по уровням таким образом, что каждый член (за исключением тех, что находятся на самом нижнем уровне) имеет одинаковое количество N подчиненных; б) все подчиненные каждого члена иерархии имеют одинаковый «вес» U , который равен весу непосредственного начальника, умноженному на коэффициент r<1 . Наиболее удобно рассматривать в качестве этого веса доход.

Если нам нужно сравнить различные иерархии с точки зрения неравенства доходов, то можно классифицировать их членов в порядке уменьшения дохода (члены с одинаковым доходом размещаются в произвольном порядке), обозначить каждого индивидуума его порядковым номером в этом рядку (рангом ρ ) и определить скорость уменьшения дохода в ряду как функцию от ранга, или наоборот. Чем быстрее происходит уменьшение дохода при увеличении ранга, тем больше неравенство.

Здесь без каких бы то ни было изменений применим формализм, использованный в законе Ципфа: ранг ρ индивидуума с доходом U приблизительно равен:

ρ=−V+U −D F D .

Это соотношение было выведено Лайдаллом в [321].

Степень неравенства определяется, в основном, показателем

D= ln N/ ln (1/r) ,

который, судя по всему, не имеет никакого достойного обсуждения фрактального смысла. Чем больше формальный показатель D , тем больше значение r , и тем ниже степень неравенства.

Как и в случае частотности словоупотребления, модель можно обобщить, допустив, что в пределах некоторого данного уровня k значение U варьируется от индивидуума к индивидууму, т.е. что U равно произведению величины r k на некоторый случайный множитель, одинаковый для всех. При таком обобщении изменяются параметры V и P 0 - и, как следствие, D , - однако основное соотношение остается неизменным.

Заметим, что эмпирический показатель D обычно близок к 2. Построим график для тех случаев, когда он в точности равен 2, откладывая при этом обратный доход на оси, направленной вниз. В результате мы получим правильную пирамиду (т.е. длина ее основания будет равна квадрату ее высоты). Доход вышестоящего индивидуума здесь составляет геометрическое среднее между совокупным доходом всех его подчиненных и доходом одного отдельно взятого подчиненного.

Критика.Когда D=2 , наименьшее значение, равное √ 2 , возникает при N=2 . Это наименьшее значение неправдоподобно велико, из чего можно заключить, что модель Лайдалла справедлива только для иерархий, в которых D>2 . Если это так, то тот факт, что показатель D обычно близок к 2, может означать, что различия в доходах внутри иерархий бледнеют в сравнении с различиями в доходах между иерархиями, не говоря уже о различиях внутри групп, не обладающих иерархической структурой.

Более широкое исследование распределения доходов, предпринятое в [333, 335, 337], послужило источником вдохновения для работы, уже описанной в главе 37.

В этой главе собраны сложные формулы, математические определения и иные сведения, не вошедшие в основной текст; сюда же помещены некоторые математические и другие дополнения.

Термины самоподобный и самоаффинный (неологизм) применяются в тексте и к ограниченным, и к неограниченным множествам (не внося, смею надеяться, двусмысленности). Во многих описаниях турбулентности, равно как и в моих ранних работах, термин самоподобный употребляется в «общем» смысле, включая в себя и понятие самоаффинности, однако в настоящем эссе общее значение оставлено лишь за термином масштабно-инвариантный.

Преобразование подобия представляет собой преобразование в евклидовом пространстве ℝ E , определяемое вещественным коэффициентом r>0 . При таком преобразовании точка x=(x 1 ,...,x δ ,...,x E ) переходит в точку r(x)=(rx 1 ,...,rx δ ,...,rx E ) , а множество S , соответственно, в множество r(S) (см. [235]).

Ограниченные множества.Ограниченное множество S самоподобно (относительно коэффициента r и целого числа N ), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству r(S) . Термин конгруэнтно означает «тождественно с точностью до смещения и / или / поворота».

Ограниченное множество S самоподобно (относительно массива коэффициентов r (1) ...r (N) ), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, соответственно конгруэнтных r (n) (S) .

Ограниченное случайное множество S статистически самоподобно (относительно коэффициента r и целого числа N ), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых имеет вид r(S n ) , где N множеств S n конгруэнтны по своему распределению множеству S .

Неограниченные множества.Неограниченное множество S самоподобно относительно коэффициента r , если множество r(S) конгруэнтно множеству S .

Аффинное преобразование в евклидовом E - мерном пространстве определяется совокупностью положительных вещественных коэффициентов r=(r 1 ,...,r δ ,...,r E ) . При этом преобразовании каждая точка x=(x 1 ,...,x δ ,...,x E ) переходит в точку

r(x)=r(x 1,...,x δ,...,x E)=(x 1r 1,...,x δr δ,...,x Er E)

а множество S , как следствие, переходит в множество r(S) .

Ограниченные множества.Ограниченное множество S самоаффинно (относительно вектора коэффициентов r и целого числа N ), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству r(S) .