Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Неограниченные множества.Неограниченное множество S самоаффинно относительно вектора коэффициентов r , если множество r(S) конгруэнтно множеству S .

Вышеприведенное определение часто применяется при следующих условиях: а) множество S представляет собой график функции X(t) из скалярного времени t в (E−1) - мерный евклидов вектор; б) r 1 =...r δ =...r E−1 =r ; в) r E ≠r . В этом случае прямое определение выглядит следующим образом: вектор – функция X(t) от времени самоаффинна (относительно показателя α и фокального времени t 0 ), если существует некоторый показатель ln r E / ln r=α>0 - такой, что при любом h>0 функция h −αX[h(t−t 0)] независима от h .

Полуустойчивость по Ламперти.Случайные неограниченные самоаффинные множества в работах Ламперти [283, 285] полуустойчивыми.

Аллометрия .В главе 17 мы отмечали, что при изменении высоты дерева (имеется в виду дерево растительного происхождения) в r раз диаметр его ствола изменяется в r 3/2 раз. Скажем больше: представляющие точки, координаты которых и определяют различные линейные меры деревьев, аффинны друг другу. Биологи называют такие фигуры аллометрическими.

Вследствие большого разнообразия всевозможных броуновских множеств, возникает необходимость по возможности в строгой (а иногда и весьма громоздкой) терминологии.

Этим термином обозначается классическое обыкновенное броуновское движение, иначе называемое функцией Винера, функцией Башелье или функцией Башелье – Винера – Леви. Приводимое ниже громоздкое определение позволяет легко классифицировать различные обобщения такой функции.

Допущения. А) Временнáя переменная t есть вещественное число. Б) Пространственная переменная x есть вещественное число. В) Параметр H равен 1/2 . Г) Вероятность Pr(X задается функцией ошибок erf (x) , которая представляет собой распределение приведенной гауссовой случайной величины с =0 и 2>=1 .

Определение.Броуновская функция из прямой в прямую B(t) есть случайная функция, такая, что при любых t и Δt верно следующее:

Pr([B(t+Δt)−B(t)]/|Δt| H

Белый гауссов шум.Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Это означает, что производная B'(t) не существует в виде обыкновенной функции, а представляет собой обобщенную функцию (распределение Шварца). Называется эта производная белым гауссовым шумом. Можно записать функцию B(t) как интеграл B'(t) .

Самоаффинность.Понятие распределения вероятностей применимо не только к случайным величинам, но и к случайным функциям. Если положить B(0)=0 , то распределение вероятностей нормированной функции t ½ B(ht) не зависит от t . Такая масштабная инвариантность является проявлением самоаффинности.

Спектр.С точки зрения спектрального или гармонического анализа, спектральная плотность функции B(t) пропорциональна f −1−2H , т.е. f −2 . Однако смысл спектральной плотности f −2 требует особого рассмотрения, так как функция B(t) нестационарна, а обычная теория ковариантности и спектра Винера – Хинчина имеет дело со стационарными функциями. Поэтому о спектрах мы поговорим позже – в разделе, посвященном функции Вейерштрасса.

Недиффернцируемость.Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Рассмотрение недифференцируемости я также предлагаю отложить до раздела функция Вейерштрасса.

Литература.Труды Леви [304] и [306] отличаются очень характерным стилем и загадочным изяществом, что уже создало им определенную репутацию в научных кругах (см. главу 40). Однако по глубине интуиции и простоте изложения им и сейчас нет равных.

Появившиеся в последнее время деловитые работы, рассчитанные исключительно на нужды отдельных и весьма разнообразных групп математиков, ученых и инженеров, слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять, однако хотелось бы отметить весьма многообещающую монографию Найта [270]. (К сожалению, автор предпочел не включать в книгу «результатов по хаусдорфовой размерности или мере выборочных траекторий, какими бы изящными они ни были, так как для них, судя по всему, не находится никаких областей приложения [1], и … [они] не представляются насущно необходимыми для общего понимания непосредственно прикладного материала. С другой стороны, надо признать, что такие особенности, как недифференцируемость выборочных траекторий в любой их точке, и в самом деле дают определенное представление об иррегулярности этих траекторий».)

Любое из упомянутых в предыдущем разделе допущений можно естественным образом обобщить, а любой процесс, получаемый в результате обобщения одного или нескольких допущений, существенно отличается от исходной функции B(t) и находит весьма серьезные области приложения.

А. Вещественное (скалярное) время t можно заменить точкой в евклидовом пространстве ℝ E (где E>1 ) либо точкой на окружности или на сфере.

Б. Вещественную (скалярную) величину X можно заменить точкой в евклидовом пространстве ℝ E (где E>1 ) либо точкой на окружности или на сфере.

В. Параметру H можно присвоить иное, нежели 1/2 , значение. Гауссово распределение erf допускает любое значение параметра H из интервала 0 .

Г. Гауссово распределение erf можно заменить одним из негауссовых распределений, рассматриваемых в разделе устойчивые случайные величины и функции леви.

Кроме того, функцию B(t) можно обобщить через ее представление в виде белого шума. Эта процедура дает существенно иные результаты.

Разброс броуновской функции из прямой в прямую B(t) в интервале от t=0 до t=2π можно разбить на две части: а) тренд, определяемый выражением B *(t)=B(0)+(t/2π)[B(2π)−B(0)] , и б) осциллирующий остаток B B (t) . В случае броуновской функции B(t) эти члены оказываются статистически независимыми.

Тренд.График тренда B * (t) представляет собой прямую, угловой коэффициент наклона которой является случайной гауссовой величиной.