Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Предостережение.Исходя из поверхностной аналогии, можно предположить, что дробную броуновскую функцию из окружности в прямую можно получить с помощью процесса, применимого и в недробном случае: образовать тренд B * H(t) дробной броуновской функции из прямой в прямую, затем исключить этот тренд из функции B H (t) и повторением получить периодическую функцию.

К сожалению, полученная таким образом периодическая функция и сумма ряда Фурье с коэффициентами n −H−½ суть разные случайные функции. В частности, ряд Фурье стационарен, в то время как многократно повторенная функция B H (t) с исключенным трендом – нет. Например, на некотором малом интервале по обе стороны от t=0 многократно повторенный мост с исключенным трендом объединяет два непоследовательных подучастка функции B H (t) . Ограничения, имеющегося в определении моста, вполне достаточно для того, чтобы объединенный участок оказался непрерывным, но совершенно не достаточно для того, чтобы сделать его стационарным. Такой участок, к примеру, совсем не тождествен по своему распределению некоторому малому участку, составленному из последовательных подучастков по обе стороны от точки t=π .

Замечания по моделированию.Вычислить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую с помощью конечных дискретных методов Фурье теоретически невозможно; на практике же это вполне осуществимо, однако требует немалой сноровки. Наиболее прямолинейная процедура заключается в следующем: а) вычисляем соответствующую функцию из окружности в прямую, б) отбрасываем ее за исключением ограниченного участка, соответствующего малому подынтервалу периода 2π (скажем, 0 * ) и в) прибавляем к результату отдельно вычисленную низкочастотную составляющую. При H→1 значение t * должно стремиться к нулю.

Фрактальные размерности.Для полного графика D=2−H (см. [457]). Когда множество уровня непусто, D=1−H . Этот результат приводится в [412] (усиливая теорему 5 (с. 146) [248]).

Критический переход при H=1 .Дробный ряд Фурье – Броуна – Винера с независимыми гауссовыми коэффициентами, пропорциональными n −½−H , сходится в непрерывную сумму при всех H>0 . Когда значение параметра H пересекает единицу, сумма становится дифференцируемой. Что касается дробного броуновского процесса, то он определен лишь до H=1 . Различие в диапазоне допустимых значений параметра H может служить подтверждением того, что эти два процесса существенно отличаются друг от друга. Это различие также предполагает, что физические критические переходные феномены можно моделировать с помощью броуновских функций из прямой в прямую, но никак не с помощью броуновских функций из окружности в прямую.

В случае функции из окружности в пространство с H<1 размерность следа равна min (E,1/H) . Этот вывод является частью теоремы 1 (с. 143) [248].

Для преобразования броуновской функции из прямой в прямую B(t) в дробную функцию B H (t) проще всего записать

B H(t)=[Γ(H+½)] −1 −∞∫ t(t−s) H−½dB(s) .

Этот интеграл расходится, однако приращения вида B H (t)−B H (0) являются сходящимися. Он представляет собой подвижное среднее ядра (t−s) H−½ - классическое, хотя и несколько туманное преобразование, известное адептам чистой математики под именем дробного интеграла или дифференциала Римана – Лиувилля порядка H+½ .

Эвристика.Идея отсутствия необходимости в целочисленном порядке интегрирования и / или / дифференцирования наиболее доходчиво объясняется в терминах спектрального анализа. В самом деле, обычное интегрирование некоторой периодической функции эквивалентно умножению коэффициентов Фурье этой функции на 1/n , а обычное интегрирование Фурье (если оно определено) на 1/f . Следовательно, операция, при которой преобразование Фурье умножается на дробную степень (1/f) H+½ , может быть с полным правом названа дробным интегро - дифференцированием. Так как спектр белого шума имеет вид f −0 , спектр функции B H (t) можно записать в виде (1/f) 2(H+½)=f −2H−1 (как и было заявлено).

Литература.Преобразование Римана – Лиувилля применяется и во многих других, самых разнообразных, областях (см. [616], II, с. 133, [456], [503], [291]). О менее известном приложении этого преобразования к теории вероятности (с отсылками к Колмогорову [275]) можно прочесть в [404].

Влияние на гладкость.Когда порядок H−½ преобразования Римана – Лиувилля положителен, оно представляет собой дробную форму интегрирования, поскольку увеличивает гладкость функции. Гладкость равнозначна локальной персистентности, однако гладкость, полученная посредством интегрирования, распространяется и на глобальные свойства функции. При H−½<0 преобразование Римана – Лиувилля представляет собой дробную форму дифференцирования, поскольку оно усиливает иррегулярность, которая зависит от локального поведения.

Дробное интегро – дифференцирование броуновских функций.В случае дробной броуновской функции из окружности в прямую параметр H сверху не ограничен. Дробное интегрирование порядка H−½>½ броуновской функции из окружности в прямую дает дифференцируемую функцию. Напротив, в случае броуновских функций из прямой в прямую порядок H−½ не может превышать ½ , поэтому функция B H (t) не является дифференцируемой.

И в тех, и в других броуновских функциях (из окружности в прямую и из прямой в прямую) локальная иррегулярность препятствует дифференцированию при значении параметра H<0 , следовательно, порядок дифференцирования не может быть меньше − ½ .

Двустороннее обобщение дробного интегро – дифференцирования.То обстоятельство, что классическое определение Римана – Лиувилля сильно асимметрично по отношению к переменной t , не вызывает никаких сложностей до тех пор, пока t обозначает время. Однако для тех случаев, когда координата t может «распространяться» в обоих направлениях, необходимо симметричное определение. Я предлагаю следующее:

B H(t)=[Γ(H+½)] −1 −∞∫ t(t−s) H−½dB(s)− t∫ ∞(t−s) H−½dB(s) .