Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Комментарий.До исследования геометрических аспектов своей модели де Вис так и не дошел, и ни он, ни его в остальных отношениях выдающиеся последователи (включая и Г. Матерона) не имели ни малейшего представления о фракталах. Однако если предположить, что плотность руды не зависит от степени ее чистоты (т.е. вес руды эквивалентен ее объему), то мы увидим, что в точности такую же модель исследовал в свое время – правда, с совершенно иными целями – теоретик А. С. Безикович вместе со своими учениками.

Забегая вперед, заметим, что если продолжить процесс де Виса (в его новой интерпретации) до бесконечности, то руда в пределе створаживается в нелакунарный фрактал. Для того чтобы записать его размерность в привычном для нас виде D= ln N * / ln2), необходимо прежде определить ln N * следующим образом:

lnN *=−∑π ilnπ i ,

где π 1=(1+d) 3, π 8=(1−d) 3, π 2=π 3=π 4=(1+d) 2(1−d) и π 5=π 6=π 7=(1+d)(1−d) 2 .

Заключение.Догадку де Виса можно расценивать как вдохновенное прозрение, однако коэффициент d явно непригоден в качестве меры, так как он применим только к одной модели. Подходящей мерой изменчивости руды является размерность D .

Для того чтобы в должной мере оценить результаты Безиковича, следует представить их на интервале [0,1] с b=3 .

Допущения.Вообразим себе некую массу, распределенную по интервалу [0,1] с единичной плотностью, и поделим ее между третями интервала с помощью неслучайного умножения на три веса W 0 , W 1 и W 2 , удовлетворяющих следующим условиям:

А. ⅓ W 0 +⅓W 1 +⅓W 2 =1 . Это соотношение показывает, что масса сохраняется, и что каждый вес W i ограничен значением b . Величину ⅓ W i , которая представляет собой массу i - й трети, мы обозначим через π i .

Б. Равномерное распределение W i ≡⅓ исключено.

В. W 0 W 1 W 2 >0 . Это соотношение, в частности, исключает из рассмотрения канторов случай (W 0 =½, W 1 =0 и W 2 =½) .

Последующие этапы каскада строятся аналогичным образом; например, плотность вещества в субвихрях имеет следующие значения: W 0 2, W 0W 1, W 0W 2, W 1W 0, W 1 2, W 1W 2 W 2W 0, W 2W 1, W 2 2 .

Заключения.Итерируя до бесконечности, получаем следующие результаты (бóльшей их части мы обязаны Безиковичу и Эгглстону; отличное изложение этих результатов имеется в книге Биллингсли [34]):

А. Сингулярность. Фрактал Безиковича.Почти во всех точках плотность асимптотически приближается к нулю. Множество точек, в которых асимптотическая плотность не равна нулю (собственно, в этих точках она бесконечна), называется фракталом Безиковича В. Он представляет собой множество точек интервала [0,1], троичное разложение которых таково, что отношение

k −1 (количество i в первых k «цифрах»)

сходится π i . Такие точки образуют открытое множество: предел последовательности этих точек не обязательно должен принадлежать множеству.

Б. Нелакунарность.Предельное распределение массы является всюду плотным: не существует такого открытого интервала (сколько угодно малого), который был бы (пусть даже асимптотически) совершенно пуст. На интервале от 0 до t масса строго возрастает вместе с t . Хотя относительное количество точек, в которых ∏ W не сходится к нулю, очень мало, абсолютного их количества вполне достаточно для того, чтобы масса, заключенная внутри любого интервала [t',t"] , имела ненулевой предел при k→∞ .

В. Размерность Хаусдорфа – Безиковича множества B .Эта размерность равна

D=−(π 1lnπ 1+π 2lnπ 2+π 3lnπ 3) .

Формально величина D является «энтропией», как она определена в термодинамике, или «информации»», как ее определяет Шеннон (см. [34]).

Г. Размерность подобия множества B .Эта размерность равна единице. В самом деле, множество B самоподобно с N=3 и r=⅓ , следовательно, D S = ln3 / ln3 =1 ; причина введения индекса S вскоре разъяснится. Аналогичным образом, размерность трехмерных вариантов B равна 3. В данном примере величина D S не может иметь большого физического смысла: во-первых, она не зависит от весов W i , если те отвечают вышеприведенным условиям; во-вторых, если заменить множество B его канторовым пределом, то ее значение скачкообразно изменяется с 1 на ln2 / ln3.

Кроме того, фрактальное однородное распределение больше не может основываться на самоподобии. В самом деле, если соотнести с каждым участком длиной 3 −k один и тот же вес, в результате мы получим однородное распределение на интервале [0,1]. Оно никак не связано со значениями весов W i и отлично от меры, с помощью которой генерировалось само множество. К тому же, при переходе к канторову пределу это однородное распределение разрывно переходит в распределение весьма неоднородное.

Д. Размерность подобия «множества концентрации» множества B .Эта размерность равна D . Дело в том, что мера Безиковича довольно точно аппроксимируется фрактально однородной мерой, размерность подобия которой равна размерности Хаусдорфа – Безиковича D . Точнее говоря, после некоторого большого количества k этапов каскада бóльшая часть первоначально однородной массы оказывается сосредоточенной в 3 kD троичных интервалов с длиной 3 −k . Распределение этих интервалов в [0,1] неоднородно, однако длина самой большой пустоты стремится при k→∞ к нулю.

Комментарий.Следует различать «полное множество», которое должно включать в себя всю массу, и «частное множество», в котором сосредоточена бóльшая часть массы. Оба множества самоподобны, однако их размерности самоподобия D S и D различны. См. также подраздел 5 данного раздела.

В работах [378, 376] я предложил естественное и достаточно глубокое обобщение метода Безиковича, которое получило дальнейшее развитие в [254].

Воздействие каждого этапа каскада заключается в умножении плотностей в b 3 субвихрях каждого вихря на одинаково распределенные и статистически независимые случайные веса W i .