Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

В этой связи стоит упомянуть и о сложном соотношении между емкостной мерой и мерой Хаусдорфа в размерности D , полученном Телором (см. [559]).

Ядра |u| −F , где F≠E−2 , ассоциируются в сознании физика с пространством вложения с «аномальной евклидовой» размерностью 2−F . (Я не склонен думать, что под этими терминами подразумеваются какие-то реальные обобщения размерности E на какие-либо положительные вещественные числа, кроме целых.) Принимая во внимание а) наличие связи между размерностями D и F (размерность Фростмана) и б) роль размерности D в описании скоплений галактик (установленную в главе 9), мы приходим в рамках «аномально – размерностной» терминологии к следующему утверждению: фрактальная размерность скоплений галактик D=1 не является аномальной, однако наблюдаемая фрактальная размерность D=1,23 требует, по всей видимости, пространства вложения с аномальной размерностью.

В моем понимании фрактальная размерность и все ее допустимые варианты являются не топологическими, но метрическими понятиями. Они включают в себя некое метрическое пространство Ω , то есть пространство, в котором соответствующим образом определяется расстояние между любыми двумя точками. Замкнутый (либо открытый) шар с центром ω и радиусом ρ в таком пространстве представляет собой множество всех точек, находящихся от точки ω на расстоянии ≤ ρ (либо <���ρ ). (Шары суть сплошные тела, а сферами мы называем их поверхности.)

Существует много способов покрытия некоторого заданного ограниченного множества S в пространстве Ω . Часто (как, например, в случаях, рассматриваемых в данном разделе) эти способы естественным образом включают в себя понятие размерности. В фундаментальных прецедентных исследованиях упомянутые размерности имеют одинаковые значения. Однако в других примерах их значения могут быть различными.

Самый приблизительный способ покрытия, восходящий еще к Кантору, заключается в том, что каждая точка множества S объявляется центром шара; объединение этих шаров рассматривается далее как сглаженный вариант множества S и обозначается через S(ρ) .

Добавим сюда допущение о том, что Ω является E - мерным евклидовым пространством. В этом случае понятие объема (vol) определено, и можно записать

vol{d−мерный шар радиуса ρ}=γ(d)ρ D ,

где

γ(d)=[Γ(½)]d/Γ(1+d/2) .

Если S - куб, объем которого много больше ρ 3 , то

vol[S(ρ)]~vol[S] .

Если S - квадрат, площадь которого много больше ρ 2 , то

vol[S(ρ)]~2ρ×площадь[S] .

Если S - интервал, длина которого много больше ρ , то

vol[S(ρ)]~πρ 2×длина[S] .

Уточним наше выражение. Введем для обозначения объема, площади или длины общий термин «протяженность», а буквой d обозначим стандартную размерность. Положив

V=vol[S(ρ)]/γ(E−d)ρ E−d ,

мы увидим, что и для кубов, и для квадратов, и для прямых верно следующее выражение:

.

Эта формула представляет собой вовсе не пустячное соотношение, связывающее два в равной степени безобидных понятия, как это может показаться на первый взгляд. Как показывает пример, представленный Х. А. Шварцем (1882), по мере увеличения точности триангуляции кругового цилиндра сумма площадей треугольников вовсе не обязательно сходится к площади поверхности цилиндра. Для того, чтобы избежать такого парадоксального поведения, Минковский [431] предпринял попытку свести понятия длины и площади к простой и здравой концепции объема с помощью вышеописанного метода покрытия множества S шарами.

Здесь, однако, с самого начала возникает небольшое затруднение: выражение для V при ρ→0 может и не иметь предела.

В этом случае предел lim заменяется парой limsup и liminf. Любому вещественному числу A из открытого интервала ]liminf,limsup[ соответствует, по меньшей мере, одна последовательность значений ρ m →0 , таких, что

.

Такой последовательности, однако, не существует, если либо A< liminf, либо A> limsup. В соответствии с этими определениями, Минковский [431] называет величины

и

верхней и нижней d - протяженностью множества S . Если они равны, их значение совпадает с d - протяженностью множества S . Минковский также отмечает, что в случае стандартных евклидовых фигур существует некая величина D , такая, что при d>D верхняя протяженность S обращается в нуль, а при d нижняя протяженность S бесконечна.

Обобщение определения Минковского на случай нецелочисленных d было предпринято Булиганом в [47, 48]. На роль размерности Минковского – Булигана D MB из упомянутых выше пределов, пожалуй, больше подходит liminf, способный принимать дробные значения.

Булиган, безусловно, понимал, что размерность D MB подчас противоречит здравому смыслу и, в общем, менее удобна, чем размерность Хаусдорфа – Безиковича D . Однако она часто совпадает с D и легче поддается оценке, а значит, может оказаться полезной. В [255] (с. 29) рассматривается случай E=1 и подтверждается, что размерность D MB часто равна D , может быть больше D , но не может быть меньше.

Среди всевозможных наборов шаров радиуса ρ , покрывающих множество S в метрическом пространстве Ω , наиболее экономичным по определению является тот, который содержит наименьшее количество шаров. Если множество S ограничено, это наименьшее количество конечно и может быть обозначено как N(ρ) . Учитывая это обстоятельство, Понтрягин и Шнирельман [481] выдвинули в качестве альтернативного определения размерности следующее выражение: