Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Основные результаты [384].Когда X(t) - белый гауссов шум, имеем J=½ и постоянный префактор. Если точнее, то отношение e −δJR(e δ)/S(e δ) является стационарной случайной функцией от δ= ln d .

В более общем виде, равенство J=½ справедливо во всех случаях, когда S(d)→2> , а нормированная сумма a −½ X * (at) при a→∞ слабо сходится к B(t) .

Когда X(t) - дискретный дробный гауссов шум (т.е. последовательность приращений функции B H (t) , см. с. 488), имеем J=H , где H∈]0,1[ .

В более общем виде, для получения J=H≠½ и постоянного префактора достаточно, чтобы S(d)→2> и чтобы сумма X * (t) приближалась к функции B H (t) так, что *(t)>~t 2H .

В еще более общем виде, значение J=H≠½ и префактор L(d) преобладают, если S(d)→2> , а X * (t) приближается к функции B H (t) и удовлетворяет соотношению *2(t)>~t 2HL(t) .

И наконец, J≠½ , если S(d)→2> , а X * (t) приближается к некоторой негауссовой масштабно-инвариантной случайной функции с показателем H=J . Примеры можно найти в [551, 554, 555].

С другой стороны, если X - белый устойчивый по Леви шум (т.е. 2>=∞ ), то J=½ .

Когда функция X в результате дифференцирования становится стационарной, то J=1 .

Используя в научных текстах «обыкновенные» слова, мы либо а) имеем в виду их общеупотребительные, «мирские» значения (выбор которых зависит от автора), либо б) придаем им статус формальных определений (для чего выделяем какое-либо особое значение и заносим его на – в данном случае – математические «скрижали»). Терминам стационарный и эргодический повезло в том смысле, что математики достигли согласия относительно их значения. Я, однако, имел возможность на собственном опыте убедиться в том, что многие инженеры, физики и статистики-практики, признавая математическое определение на словах, на деле придерживаются более узких взглядов. Мне же, напротив, хотелось бы расширить математическое определение. Ниже я перечислю основные недоразумения, возникающие при употреблении упомянутых терминов, и попытаюсь объяснить, почему математическое определение нуждается в расширении.

Математическое определение.Процесс X(t) является стационарным, если распределение величины X(t) не зависит от t , а совместное распределение X(t 1 +τ) и X(t 2 +τ) не зависит от τ ; причем то же верно и для совместных распределений X(t 1 +τ)...X(t k +τ) при всех k .

Первое недоразумение (философия).Согласно распространенному мнению, научной может считаться та деятельность, объектом которой являются феномены, подчиняющиеся неизменным правилам. Неверное понимание стационарности чаще всего является следствием именно такого взгляда на вещи: многие полагают, что под стационарностью подразумевается всего лишь инвариантность во времени управляющих процессом правил. Это далеко не так. Например, приращение броуновского движения B(t 1 +τ)−B(t 2 +τ) представляет собой гауссову случайную величину, среднее и дисперсия которой не зависят от τ . Не зависит от τ и правило построения множества нулей броуновского движения. К стационарности, однако, имеют отношение только те правила, которые управляют значениями самого процесса. В случае броуновского движения эти правила не являются инвариантными во времени.

Второе недоразумение (прикладная статистика).Статистики предлагают нам множество методов (иногда даже в виде программного обеспечения для компьютеров) «анализа временных рядов»; на деле же диапазон возможностей этих методов оказывается гораздо ỳже, чем можно было бы ожидать, судя по ярлыку. Это неизбежно, так как математическая стационарность – понятие слишком общее для того, чтобы какой-нибудь отдельный метод оказался бы применим ко всем возможным случаям. Однако тем самым статистики невольно воспитывают в своих клиентах убежденность в том, что понятие «стационарного временнóго ряда» тождественно другим, более узким понятиям, охватываемым тем или иным методом. Даже в тех случаях, когда авторы методов берут на себя труд проверить свои творения на «устойчивость», они учитывают лишь минимальные отклонения от простейшего состояния, не принимая в расчет весьма радикальных отклонений, ничуть не противоречащих стационарности.

Третье недоразумение (инженеры и физики).Многие исследователи (отчасти благодаря более ранним недоразумениям) полагают, что если выборочный процесс стационарен, то это означает, что он «может сдвигаться вверх и вниз, но остается в некотором роде статистически тем же». Такая интерпретация вполне годилась на раннем, «неформальном», этапе, однако в настоящий момент она неприемлема. Математическое определение описывает лишь правила порождения, но никак не затрагивает порождаемые объекты. Когда математики впервые столкнулись со стационарными процессами с чрезвычайно беспорядочными выборками, они были поражены тем, что понятие стационарности может включать в себя такое изобилие самых различных и неожиданных форм поведения. К сожалению, именно такие формы поведения многие практики наотрез отказываются признавать стационарными.

Серая зона.Нет никаких сомнений в том, что граница между стационарными и нестационарными процессами проходит где-то между белым гауссовым шумом и броуновским движением; споры вызывает лишь точное ее местонахождение.

Уточнение границы с помощью масштабно-инвариантных шумов.Гауссовы масштабно-инвариантные шумы (см. главу 27) могут послужить весьма удобным средством для уточнения спорной границы, поскольку их спектральная плотность имеет вид f −B , где B≥0 . Для белого шума B=0 , для броуновского движения B=2 , граница же между стационарными и нестационарными процессами попадает на различные значения B в зависимости от того, какими соображениями руководствуются «землемеры».

Математики, желая избежать «инфракрасной катастрофы», помещают границу при значении B=1 , так как условие 0∫ 1f −Bdf<���∞ эквивалентно B<1 .

Однако поведение выборки масштабно-инвариантного шума при B=1 изменяется весьма плавно. В сущности, гораздо более заметные изменения происходят при переходе от B=0 к B>0 - настолько, надо сказать, заметные, что исследователи-практики склонны считать нестационарной любую выборку с B>0 . Стремясь быть последовательными, они также заявляют, что для представления данных, которые выглядят, как выборка с B>0 , необходима исключительно нестационарная модель.