Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Известно, что гауссово распределение обладает следующим свойством: возьмем две независимые гауссовы случайные величины G 1 и G 2 и запишем

1>=2>=0 ; 1 2>=σ 1 2 ; 2 2>=σ 2 2 ;

тогда их сумма удовлетворяет равенству

1+G 2>=0 ; <(G 1+G 2) 2>=σ 1 2+σ 2 2 .

Что более важно, величина G 1 +G 2 сама является гауссовой случайной величиной. Таким образом, гауссово свойство инвариантно при сложении независимых случайных величин. Иными словами, гауссову случайную величину можно рассматривать как возможное решение системы уравнений, состоящей из функционального уравнения.

(L) (s 1 X 1 +s 2 X 2 )=sX

и вспомогательные соотношения

(A:2) s 1 2+s 2 2=s 2 .

В действительности же, только гауссово распределение удовлетворяет как уравнению (L) , так и соотношению (A:2) (без учета масштаба).

Более того, если в качестве вспомогательного соотношения выступает 2><���∞ , то гауссова случайная величина опять оказывается единственным решением.

Функциональное уравнение (L) , для обозначения которого Леви использует термин устойчивость, подвергнуто весьма глубокому исследованию в его работе [302]. Во избежание возможной двусмысленности я использую в соответствующих случаях несколько громоздкую конструкцию устойчивость по Леви.

Поскольку практически настроенные ученые не склонны подвергать сомнению соотношение 2><���∞ , широко распространено мнение о том, что гауссово распределение является единственным устойчивым распределением. Это определенно не соответствует истине, о чем нам первым поведал Коши еще в 1853 г. (см. [71], с. 206). Коши приводит в пример некую случайную величину (впервые рассмотренную Пуассоном и называемую теперь «приведенной переменной Коши»), которая удовлетворяет следующему равенству

Pr(X>−x)=Pr(X−1tg −1x ;

отсюда

плотность Коши=1/[π(1+x 2)] .

Коши показал, что эта случайная величина является решением системы уравнений, составленной из (L) и альтернативного вспомогательного соотношения

(A:1) s 1 +s 2 =s .

Для случайной величины Коши 2>=∞ или, точнее, =∞ . То есть для выражения такой очевидной вещи, как равенство масштаба произведения случайной величины X на некоторое неслучайное число s произведению s на масштаб X , нам потребуется для измерения масштаба величина, отличная от среднеквадратического значения. Одним из кандидатов на эту роль является расстояние между квартилями Q и Q' , где Pr(XQ)=¼ .

Чаще всего случайная величина Коши используется в качестве контрпримера, как это сделано, например, в [33], с. 321 – 323. См. также [212].

Геометрическая порождающая модель.Вышеприведенную формулу Pr(X−1tg −1x можно реализовать геометрически, разместив точку W с равномерным распределением вероятностей на окружности u 2 +v 2 =1 и определив X как абсциссу точки, в которой прямая, проходящая через начало координат O и точку W , пересекает прямую v=1 . Случайная величина Y , определяемая в этом же построении как ордината точки, в которой прямая, проходящая через O и W , пересекает прямую u=1 , имеет то же распределение, что и X . Поскольку Y=1/X , получается, что величина, обратная случайной величине Коши, также является случайной величиной Коши.

Более того: всякий раз, когда вектор OW=(X,Y) является изотропно распределенным случайным вектором в плоскости, величина Y/X является случайной величиной Коши. В частности, отношение двух независимых гауссовых случайных величин есть случайная величина Коши.

Составим систему из уравнения (L) и вспомогательного соотношения

(A:0,5) s 1 0,5+s 2 0,5=s 0,5 .

Решением этой системы будет случайная величина, плотность которой при x<0 равна нулю, а в остальных случаях имеет вид

p(x)=(2π) −1/2exp(−1/2x)x −3/2 .

Величина p(x)dx представляет собой вероятность того, что броуновская функция, удовлетворяющая равенству B(0)=0 , удовлетворяет также равенству B(t)=0 при некотором значении t из интервала [ x,x+dx ].

Коши рассмотрел обобщенное вспомогательное соотношение

(A:D) s 1 D+s 2 D=s D .

Симметричные решения.Основываясь на формальных расчетах, Коши утверждает, что система уравнений (L) и (A:D) имеет при любом значении D единственное решение: случайную величину, плотность которой имеет вид

π −2 0∫ ∞exp(u −D)cos uxdu .

Пойа и Леви показывают, что при 0 предположение Коши и в самом деле подтверждается, а гауссово распределение и распределение Коши являются частными случаями этого правила. Однако при D>2 это предположение оказывается несостоятельным, поскольку в этом случае вышеприведенная формальная плотность принимает отрицательные значения, что есть абсурд.

Крайние несимметричные решения.Леви, кроме того, показывает, что система уравнений (L) и (A:D) допускает и несимеетричные решения. В случае наиболее экстремально асимметричных решений порождающая функция (преобразование Лапласа) определена и равна exp(g D ) .

Другие несимметричные решения.Общим решением системы уравнений (L) и (A:D) является взвешенная разность двух независимых одинаково распределенных решений с крайней асимметрией. Веса принято обозначать через ½(1+β) и ½(1−β) .

Окончательное обобщение уравнения (L) .При неизменном (A:D) заменим условие (L) условием

(L * ) s 1 X 1 +s 2 X 2 =sX+const .

При D≠1 такая замена ничего не меняет, однако при D=1 система допускает дополнительные решения, которые называются асимметричными случайными величинами Коши.

Бактерии – мутанты.В статье [377] я показал, что общее количество мутировавших бактерий в старой культуре (задача Луриа – Дельбрюка) представляет собой устойчивую по Леви случайную величину с крайней асимметрией.