Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Относительные количества положительных и отрицательных скачков равны, соответственно, ½(1+β) и ½(1−β) . Крайний асимметричный случай β=1 допускает только положительные скачки; такая функция называется устойчивым субординатором и служит для определения лестниц Леви, изображенных на рис. 399 и 400.

Парадокс.Поскольку u −D →∞ при u→0 , общее ожидаемое количество скачков бесконечно, какой бы малой ни была величина Δt . То обстоятельство, что связанная с этим ожиданием вероятность также окажется бесконечной, представляется парадоксальным. Однако парадоксальность исчезает, как только мы обращаем внимание на то, что общее количество скачков, для которых u<1 , составляет конечную величину. Этот вывод выглядит вполне естественным, если отметить, что ожидаемая длина малого скачка конечна и пропорциональна

0∫ 1Du −D−1udu=D 0∫ 1u −Ddu<���∞ .

Случай 1 .В этом случае вышеприведенный интеграл расходится, т.е. общий вклад малых скачков составляет бесконечную величину. Вследствие этого функция X(t) содержит два члена, непрерывный и скачковый; каждый из членов бесконечен, однако сумма их конечна.

Заменим случайную величину X в функциональном уравнении (L) , участвующем в определении устойчивости, случайным вектором X . Если задан некоторый единичный вектор V , то очевидно, что система уравнений (L) и (A:D) имеет элементарное решение – произведение вектора V на скалярную устойчивую случайную величину.

Леви [304] показывает, что общее решение есть просто сумма всех элементарных решений, каждое из которых соответствует своему направлению в пространстве и взвешено в соответствии с некоторым распределением по поверхности единичной сферы. Вклады этих решений могут быть дискретными (конечными или счетно бесконечными), либо бесконечно малыми. Для того, чтобы вектор X был изотропным, элементарные вклады должны быть распределены равномерно по всем направлениям.

Устойчивые по Леви векторные функции от времени.Подобно устойчивым скалярным функциям, векторные функции допускают разложение в сумму скачков, следующих гиперболическому распределению. Размеры и направления скачков определяются распределением по поверхности сферы.

Распределение Хольтсмарка.Спектроскопические исследования Хольтсмарка [220] пережили свое время благодаря тому, что их результаты оказалось возможным переформулировать в терминах ньютоновского притяжения (см. [76]); до появления моих работ только в этих исследованиях фигурировал конкретный пример устойчивого по Леви распределения. Предположим, что в точке O имеется некая звезда, а в пространстве распределено (независимо друг от друга и с ожидаемой плотностью δ ) еще некоторое количество звезд единичной массы. Какова общая сила притяжения, испытываемая звездой O со стороны этих звезд? Вскоре после того, как Ньютон открыл свой знаменитый обратно - квадратичный закон притяжения, преподобный Бентли написал ему письмо, в котором указал на то, что притяжение звезд, заключенных внутри узкого конуса dΩ' с вершиной в точке O , имеет бесконечное математическое ожидание; то же можно сказать и о притяжении звезд, заключенных внутри узкого конуса dΩ'' , симметричного конусу dΩ' относительно точки O . Бентли заключил, что разница между этими бесконечностями не определена.

При решении задачи Хольтсмарка (в том виде, в каком ее обычно формулируют) подобная трудность нам не грозит, так как здесь мы имеем дело не с самими математическими ожиданиями, а с разностями между действительными и ожидаемыми величинами притяжения. Для начала рассмотрим звезды, заключенные внутри области, ограниченной вышеописанным конусом угловой величины dΩ и сферами радиусов r и r+dr . Каждая звезда притягивает с силой u=r −2 , а их количество представляет собой пуассонову случайную величину с ожиданием δ|dΩ|d(r 3)=δ|dΩ|d(u −3/2) . Следовательно, для разности между действительным притяжением и его математическим ожиданием имеем характеристическую функцию

.

Как выясняется, эта разность соответствует устойчивой по Леви случайной величине с показателем D=3/2 и β=1 . Из подраздела 6 (см. выше) нам известно, что большое положительное значение u обусловлено, скорее всего, присутствием одной – единственной звезды вблизи точки O и не зависит от плотности звезд в других местах; распределение случайной величины U при очень больших u ведет себя как распределение величины притяжения ближайшей звезды.

Таким образом, общее избыточное притяжение представляет собой изотропный устойчивый по Леви вектор с D=3/2 .

Смысл устойчивости можно объяснить так: допустим, звезда O испытывает притяжение со стороны двух равномерно распределенных звездных облаков, состоящих, скажем, из красных и голубых звезд; тогда величины силы притяжения только красных звезд, только голубых звезд и всех звезд вместе различаются лишь масштабным коэффициентом, а не аналитической формой их распределения.

Построение броуновской функции из пространства в прямую, предложенное Ченцовым [79], обобщено мною для устойчивого случая в [379].

Самые ранние вычисления размерности устойчивого процесса для негауссова случая можно найти в работах [420] и [39, 41]. Полная библиография приведена у Прюитта и Тейлора [484].

В разделе нелакунарные фракталы (подраздел 4) описывается представленное в статьях [376, 378] семейство обобщений устойчивых по Леви случайных величин. Эти обобщения основываются на обобщении условия устойчивости по Леви (L) , заключающемся в замене весов s i μ случайными величинами.

Хотя в главе 3 мы и определили термин фрактал, я все же продолжаю считать, что наша тема представляет собой как раз такой случай, когда лучше всего обойтись совсем без определения (в эссе 1975 г., кстати, никакого определения не было).