Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Я старался не пересказывать без крайней необходимости сведений из официальных биографий (если таковые существуют) интересующих нас персонажей. В большом «Словаре биографий ученых» под редакцией Гиллиспи (см. [170]) приводятся также и библиографии; кстати, как в биографиях, так и в библиографиях имеются очень многозначительные пропуски.

Об истории возникновения и развития броуновского движения – предмете занимательном и полезном – мы поговорим в следующей главе. Заметим только, что в данном случае физика не может претендовать на первенство, которое, судя по всему, принадлежит математике и (весьма необычное стечение обстоятельств!) экономике.

Дело в том, что подробное описание большинства положений математической теории броуновского движения появилось еще за пять лет до Эйнштейна. Автором этого описания является Луи Башелье («Словарь биографий ученых», т. I, с. 366 – 367).

В центре нашего повествования – докторская диссертация по математике, защищенная 19 марта 1900 г. в Париже. Шестьдесят лет спустя она удостаивается редкой чести быть переведенной на английский язык с добавлением пространных комментариев. Начало же у этой истории было неудачным: диссертация не произвела на принимавшую защиту комиссию особого впечатления, и та вынесла крайне необычный и чуть ли не оскорбительный вердикт – mention honorable, и это притом, что ни один потенциальный кандидат на соискание докторской степени в тогдашней Франции вообще не брался за дело, если не видел перед собой конкретной академической карьеры и не рассчитывал на получение при защите хотя бы mention tres honorable.

Таким образом, нет ничего удивительного в том, что диссертация Башелье не оказала непосредственного влияния ни на одного из его современников. Надо сказать, что и современникам не удалось оказать какое бы то ни было влияние на Башелье, хотя он и продолжал вести активную научную деятельность и опубликовал (в самых лучших журналах) несколько своих работ, состоящих, по большей части, из нескончаемых алгебраических манипуляций. Вдобавок, он написал научно-популярную книгу [13], которая выдержала несколько переизданий и даже сейчас продолжает оставаться вполне читабельной. Впрочем, я не стал бы рекомендовать ее всем подряд, так как ее предмет претерпел за прошедшие годы очень значительные изменения; кроме того, иногда не совсем ясно, что именно скрывается за краткими фразами Башелье – то ли подтвержденные опытом теоретические заключения, то ли формулировка задач, которые еще предстоит решить. В совокупности такая двусмысленность способна произвести на неподготовленного читателя весьма обескураживающий эффект. Лишь через много лет, после нескольких неудачных попыток, Башелье удалось получить должность университетского профессора – в крохотном университете города Безансон.

На фоне его серой, ничем не примечательной карьеры и скудности дошедших до на сведений о его личности (какими бы тщательными ни были мои поиски, мне удалось обнаружить лишь разрозненные обрывки воспоминаний о нем студентов и коллег – и ни одной фотографии), с одной стороны, - и шумной посмертной славы его диссертации – с другой, фигура Башелье приобретает некий почти романтический ореол. В чем же причина столь резкого контраста?

Заметим для начала, что его жизнь могла бы сложиться совсем иначе, если бы не одна математическая ошибка. Изложение этой истории можно найти у Поля Леви (см. [311], с. 97 – 98); более подробно Поль рассказал мне об этом в письме, написанном 25 января 1964 г. Ниже приводятся выдержки из этого письма:

«Впервые я услышал о нем несколькими годами позже выхода моего «Исчисления вероятностей», то есть году в 1928 плюс – минус год. Он был тогда кандидатом на должность профессора в Дижонском университете. Один из университетских преподавателей по фамилии Жевре обратился ко мне, желая услышать мое мнение о работе, опубликованной Башелье в 1913 г. (в сборнике «Annales de l'Ecole Normale»). В этой работе Башелье определил функцию Винера (причем еще до Винера) следующим образом: сначала он взял в каждом из интервалов [ nτ,(n+1)τ ] некую функцию X(t|τ) с постоянной производной, равной с одинаковой вероятностью либо +v , либо − v ; далее он перешел к пределу этой функции (при v=const и τ→0 ) и объявил, что получил верную функцию X(t) ! Жевре был шокирован этой ошибкой. Я согласился с ним и подтвердил ошибочность статьи в письме, которое он зачитал свои коллегам в Дижоне. Башелье должности не получил. Узнав о моем участии в этом деле, он затребовал объяснений, каковые я ему немедля предоставил, однако они не убедили его в ошибочности его рассуждений. Думаю, нет нужды вспоминать здесь об иных прямых последствиях этого инцидента.

Я благополучно забыл о нем и не вспоминал до 1931 г., когда при чтении фундаментальной работы Колмогорова наткнулся на слова «der Bacheliers Fall». Я просмотрел другие работы Башелье и обнаружил, что та прошлая ошибка, от которой он так и не отказался, не помешала ему получить выводы, которые были бы верны, если бы вместо v=const он записал v=const⋅τ −½ , и что еще до Эйнштейна и Винера Башелье удалось разглядеть некоторые важные свойства так называемой функции Винера (или Винера – Леви), а именно: уравнение диффузии и распределение .

Мы помирились. Я написал ему о своем сожалении, что впечатление, произведенное одной ошибкой в начале статьи, отвратило меня от дальнейшего чтения работы, содержащей так много интересных мыслей. Он ответил длинным письмом, в котором выразил большой энтузиазм в отношении продолжения исследований».

То, что Леви довелось сыграть столь неприглядную роль, поистине трагично, поскольку его собственная карьера, как мы вскоре увидим, также едва не оказалась погублена из-за того, что его работы были недостаточно строги.

Перейдем теперь ко второй, более серьезной, причине карьерных проблем Башелье. Причина эта заключается в названии его диссертации, о котором я до сих пор не упомянул (намеренно, разумеется) и которое выглядит так: «Математическая теория спекуляций». Название это никоим образом не относится к спекуляциям философским (например, о природе случайности); скорее, здесь имеются в виду спекуляции в «стяжательском» смысле, т.е. получение доходов за счет падений и повышений цен на рынке консолидированных государственных облигаций (тех самых, которые французы называют «la rente»). Упомянутая Леви функция X(t) как раз и имеет своим значением цену этих облигаций в момент времени t .