Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

коразмерность (S 1 )+коразмерность (S 2 ) ,

то левая часть этого неравенства почти наверное равна коразмерности S 1 ∩S 2 . Если сумма коразмерностей больше E , то размерность пересечения почти наверное равна нулю.

В частности, два множества одинаковой размерности не пересекаются, если D≤E/2 . Размерность E=2D можно, таким образом, назвать критической.

Примечательно, что два броуновских следа (при том, что размерность броуновского следа D=2 ) пересекаются при E<4 и совершенно не соприкасаются при E≥4 .

Правило очевидным образом распространяется и на пересечения более чем двух множеств.

Самопересечения.Множество k - кратных точек S можно рассматривать, как пересечение k реплик S . Напрашивается предположение, что, с точки зрения размерности пересечения, упомянутые k реплик можно считать независимыми. По крайней мере, в одном случае эта догадка оказывается верной. С. Дж. Тейлор в работе [561] исследует следы броуновского движения и движения Леви в ℝ 1 и ℝ 2 (обобщая результаты, полученные Дворжецким, Эрдешем и Какутани). Размерность следа равна D , а размерность множества, состоящего из его k - кратных точек, составляет max[0,E−k(E−D)] . Телор предположил, что этот результат верен в ℝ E для всех k вплоть до k=∞ .

Эмпирическое правило таково: когда фрактал S размерности D проецируется вдоль независимого от S направления на евклидово подпространство размерности E 0 , для проекции S * верно равенство:

размерность S= min (E 0 ,D) .

Приложение.Пусть x 1 ∈S 1 и x 2 ∈S 2 , где S 1 и S 2 - фракталы в ℝ E с размерностями D 1 и D 2 . Через a 1 и a 2 обозначим некие неотрицательные вещественные числа и определим множество S как множество, составленное из точек вида x=a 1 x 1 +a 2 x 2 . Размерность D этого множества удовлетворяет неравенству:

max (D 1 ,D 2 )≤D≤ min (E,D 1 +D 2 ) .

Для доказательства находим прямое произведение ℝ E на ℝ E и проецируем.

В случае независимости множеств скорее всего подойдет и верхний предел размерности. При D=E=1 множество S является либо фракталом, либо множеством с интервалами.

См. главу 32.

Если внутренняя функция множества S имеет вид h S (ρ)=γ(D)ρ D , свойства фрактала полностью описываются его размерностью D . Если же

h S(ρ)=ρ D[ln(1/ρ)] Δ1[ln ln(1/ρ)] Δ2 ,

то описание фрактальных свойств множества S оказывается более громоздким. Одной размерностью в этом случае не обойтись, требуется последовательность D , Δ 1 , Δ 2 . Величины Δ m можно назвать субординатными размерностями или субразмерностями.

Субразмерности в состоянии пролить свет на вопрос, следует ли считать фракталами пограничные множества, описанные в разделе фракталы, 3. Возможно имеет смысл называть фракталами любое множество S , размерность D которого равна D T , но хотя бы одна субразмерность Δ отлична от нуля.

Фрактальная размерность является по своему происхождению локальным свойством, несмотря на то, что в настоящем эссе локальные свойства оказывают влияние на свойства глобальные. Таким образом, имея дело с графиком во всех иных отношениях произвольной непрерывной функции X(t) , следует соотносить размерность D с другими локальными свойствами. Одним из наиболее полезных локальных свойств является показатель Липшица – Гёльдера (ЛГ) α . Суть условия ЛГ при t+ состоит в том, что

X(t)−X(t 0)~|t−t 0| α при 0 0 <���ε ;

аналогично оно выглядит и для случая t− . Глобальный ЛГ – показатель в интервале [t',t"] имеет вид . Если функция X(t) не является постоянной, λ≤1 .

ЛГ – эвристика и размерность D .Если известен показатель α , то количество квадратов со стороной r , необходимых для покрытия графика функции X между моментами времени t и t+r , приблизительно равно r α−1 . Таким образом, можно покрыть график функции X(t) на участке t∈[0,1] с помощью N квадратов и приблизительно оценить размерность функции как D= ln N/ ln (1/r) . Этот способ оценки D мы будем называть эвристикой Липшица – Гёльдера. Он устойчив и весьма эффективен.

Примеры.Если функция X дифференцируема для всех t между 0 и 1, а точки, в которых X'(t)=0 , в расчет не принимаются, то на всем интересующем нас интервале α=1 , и количество квадратов, необходимых для покрытия графика функции, равно N~r α−1 (1/r)=r −1 . Отсюда D=1 , что, конечно же, верно.

Если X(t) - броуновская функция (обыкновенная или дробная), то можно показать, что α≡λ=H . Эвристическое значение N приблизительно равно r H−1−1 , т.е. D=2−H , что опять же согласуется с известной размерностью D .

Харди [194] показывает, что для функций, описанных в разделе функция Вейерштрасса … α≡H . Следовательно, можно предположить, что их размерность Хаусдорфа – Безиковича равна 2−H .

Совершенно иначе обстоит дело с канторовой лестницей (см. рис. 125). Областью определения функции X являются здесь только те значения t , которые принадлежат фрактальной пыли с фрактальной размерностью δ<1 , а показатель α зависит от t . Разделим интервал [0,1] на 1/r временных промежутков длины r . В r −δ этих промежутков α=δ , в других промежутках показатель α не определен, однако если повернуть координатные оси на небольшой угол, то α=1 . Отсюда эвристически получаем для количества покрывающих квадратов значение r −1 +r δ−1 r −δ =2r −1 , а для размерности D=1 . Это в самом деле так, что и отмечено в пояснении к рис. 125.