Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

С другой стороны, аппроксимативная хаусдорфова протяженность в размерности D (понятие, введенное в предыдущей главе) равна произведению ε D на количество отрезков длины ε , т. е. ε D ε −D =1 . Неплохое подтверждение тому, что величина D представляет собой хаусдорфову размерность. К сожалению, данное Хаусдорфом определение этой размерности весьма плохо поддается строгой математической трактовке. И даже если бы это было не так, идея обобщения понятия размерности на множество нецелых чисел настолько широка и чревата настолько серьезными последствиями, что более глубокое ее обоснование можно только приветствовать.

Оказывается, мы легко можем получить искомое более глубокое обоснование, рассмотрев случай самоподобных фигур и понятие размерности подобия. Мы часто слышим о том, что математики используют размерность подобия для приблизительного определения хаусдорфовой размерности, причем в большинстве случаев, рассматриваемых в этом эссе, такая приблизительная оценка оказывается верной. В применении к этим случаям мы вполне можем считать фрактальную размерность синонимом размерности подобия. < Аналогичным образом мы используем термин «топологическая размерность» как синоним обычной, «интуитивной», размерности. ►

В качестве своего рода стимулирующего вступления давайте рассмотрим стандартные самоподобные формы: отрезки прямой, прямоугольники на плоскости и т. д. (см. рис. 73). Евклидова размерность прямой равна 1, следовательно, при любом целочисленном «основании» b отрезок 0≤x может быть «покрыт» по всей «длине» (каждая точка при этом покрывается один и только один раз) некоторым количеством «частей», равным N=b . Эти «части» представляют собой отрезки (k−1)X/b≤x , где k изменяется от 1 до b . Каждая часть может быть получена из целого с помощью преобразования подобия с коэффициентом r(N)=1/b=1/N .

Евклидова размерность плоскости равна 2. Отсюда аналогичным образом следует, что при любом значении b «целое», состоящее из прямоугольника с длинами сторон 0≤x и 0≤y , может быть без остатка «разбито» на N=b 2 частей. Части эти представляют собой прямоугольники, определяемые системой уравнений

Где k и h изменяются от 1 до b . И здесь каждая часть может быть получена из целого с помощью преобразования подобия с коэффициентом r(N)=1/b=1/N 1/2 .

В случае прямоугольного параллелепипеда аналогичное рассуждение приводит нас к коэффициенту r(N)=1/N 1/3 .

Не возникает никаких сложностей и с определением пространств, евклидова размерность E которых больше 3. (Здесь и далее мы будем обозначать евклидову — или декартову — размерность буквой E .) Для всех D -мерных параллелепипедов ( D ) соблюдается равенство

r(N)=1/N 1/D .

Таким образом,

Nr D =1 .

Эквивалентные альтернативные выражения имеют следующий вид:

ln r(N)= ln (1/N 1/D )=−( ln N)/D ,

D=− ln N/ ln r(N)= ln N/ ln (1/r)= .

Перейдем теперь к нестандартным фигурам. Для того, чтобы показатель самоподобия имел формальный смысл, необходимо лишь, чтобы рассматриваемая фигура была самоподобной, т. е. чтобы ее можно было разбить на N частей, каждая из которых может быть получена из целой фигуры с помощью преобразования подобия с коэффициентом r (в сочетании со смещением или преобразованием симметрии). Полученная таким образом величина D всегда удовлетворяет равенству

0≤D≤E .

В случае троичной кривой Коха N=4 , а r=1/3 , отсюда D= ln4 / ln3, что полностью совпадает с хаусдорфовой размерностью.

До сих пор мы, не особенно задумываясь, называли фигуру Коха K кривой; настало время разобраться с этим понятием. Здравый смысл подсказывает, что стандартная дуга представляет собой связное множество, причем если удалить любую его точку, то множество становится несвязным. А замкнутая кривая — это связное множество, разделяющееся после удаления двух точек на две стандартные дуги. По этим причинам фигуру Коха K можно считать кривой.

Любой математик скажет вам, что все фигуры, обладающие вышеуказанным свойством (будь то кривая K , интервал [0,1] или окружность), имеют топологическую размерность D T , равную 1. То есть у нас появляется еще одна концепция размерности! Будучи последователями Уильяма Оккама, все ученые прекрасно осведомлены о том, что «не следует множить сущности без необходимости». Здесь я должен признаться, что наши с вами метания между несколькими почти эквивалентными формами фрактальной размерности объясняются всего лишь соображениями удобства. А вот параллельное существование фрактальной и топологической размерности является самой что ни на есть суровой необходимостью. Читателям, пропустившим то отступление в главе 3, где дано определение фрактала, я рекомендую прочесть его сейчас; кроме того, каждому необходимо ознакомиться с разделом, озаглавленным РАЗМЕРНОСТЬ, в главе 41.

Одна из работ Чезаро [74] начинается с эпиграфа:

«... безгранична воля, безграничны желания, несмотря на то, что силы наши ограничены, а осуществление мечты — в тисках возможности».1

В самом деле, тиски возможности властны над учеными в не меньшей степени, чем над шекспировскими Троилом и Крессидой. Для построения кривой Коха необходимо, чтобы каскад новых, с каждым разом уменьшающихся выступов уходил в бесконечность, однако в Природе всякий каскад обречен либо прекратиться, либо измениться. Мы, конечно, можем допустить существование бесконечной серии выступов, но охарактеризовать их как самоподобные можно только в определенных пределах. Когда длина уменьшается до значений, меньших нижнего предела, понятие береговой линии перестает принадлежать географии.

Таким образом, представляется разумным рассматривать реальную береговую линию как кривую, включающую в себя два пороговых масштаба. Внешним порогом Ω можно считать диаметр наименьшей окружности, описывающей остров или материк, а в качестве внутреннего порога ε мы можем взять те самые 20 м, о которых говорилось в главе 5. Весьма сложно указать реальные числовые значения для порогов, однако необходимость введения этих самых порогов не подлежит сомнению.