Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

В роли инициатора в построении Чезаро выступает правильный шестиугольник с длиной стороны √ 3/3 . Окружающий остров океан изображен серым цветом. Каждый прямолинейный участок берега заменяется треугольной бухтой, размер которой уменьшается с каждым этапом построения до бесконечности, а остров Коха становится пределом уменьшающихся приближений.

На приведенном рисунке показаны оба метода построения: и метод Коха (см. рис. 70) и только что описанный метод Чезаро. При таком представлении предельная береговая линия Коха оказывается зажатой между двумя неуклонно приближающимися изнутри и снаружи терагонами. Можно вообразить себе некий каскадный процесс, в начале которого мы имеем три концентрических кольца: твердая земля (черная), болото (белое) и вода (серая). С каждым этапом такого каскадного процесса некоторый участок болота преобразуется либо в твердую землю, либо в воду. В пределе болото донельзя истончается, превращаясь из «поверхности» в кривую.

Интерпретация срединного смещения.Используем приведенные ниже генератор и последующий шаг (угол равен 120 градусов):

Смещение средней точки прямолинейного отрезка наружу k -го внутреннего терагона дает k -й наружный терагон; срединное смещение внутрь k -го наружного терагона дает k+1 -й наружный терагон. Эффективность такого подхода демонстрируется на рис. 98 и 99, а также в главе 25.

Рис. 73. ДВА ВИДА САМОПОДОБИЯ: СТАНДАРТНОЕ И ФРАКТАЛЬНОЕ

На рисунке показано, как, располагая некоторым целым числом (в данном случае b = 5), можно разбить прямолинейный отрезок единичной длины на N=b подынтервалов, длина каждого из которых равна r=1/b . Аналогичным образом мы можем разделить единичный квадрат на N=b 2 меньших квадратов с длиной стороны r=1/b . И в том, и в другом случае величина ln N/ ln (1/r) представляет собой размерность подобия рассматриваемой фигуры, — величина, о которой школьная геометрия не считает нужным упоминать, так как ее значение сводится к евклидовой размерности.

Нижняя фигура — это троичная кривая Коха или треть побережья острова Коха. Ее также можно разбить на подобные исходной кривой фигуры меньшего размера, при этом N=4 , а r=1/3 . Размерность подобия D= ln N/ ln (1/r) в данном случае оказывается дробным числом (ее значение примерно 1,2618), не находя себе аналогов в стандартной геометрии.

Хаусдорф показал, что величина D может быть весьма полезной в математике и что она совпадает с хаусдорфовой, или фрактальной, размерностью. Я же утверждаю, что без величины D не обойтись и в естественных науках.

Рис. 74. ТРОИЧНОЕ ОЗЕРО КОХА К (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ D= ln4 / ln3 ~1,2618 )

Продолжим построение, описанное в пояснениях к рисункам 70 и 71, до некоторого продвинутого этапа и сфотографируем результат. Негатив такой фотографии представлен на рисунке и напоминает скорее озеро, нежели остров.

Необычный узор серых «волн», заполняющих это озеро, не случаен. Его описание можно найти в пояснениях к рисункам 104 и 105.

Береговая линия озера Коха не самоподобна, поскольку замкнутую кривую нельзя представить в виде совокупности подобных ей меньших замкнутых кривых. < Хотя в главе 13 мы используем самоподобие для построения бесконечного скопления островов. ►

Рис. 75 и 76. ДРУГИЕ ОСТРОВА И ОЗЕРО КОХА (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ D= ln9 / ln7 ~1,1291 )

Этим вариантом острова Коха мы обязаны В. Госперу (см. [163]): инициатором служит правильный шестиугольник, а генератор выглядит следующим образом:

Рис. 75.Здесь приведено несколько этапов построения «острова Госпера» (показан жирной линией). О внутреннем заполнении острова (тонкая линия) мы поговорим чуть позже (см. рис. 106).

Рис. 76. Одна из поздних стадий построения острова Госпера. За пояснениями относительно заполнения (линии различной толщины внутри острова) обратитесь к рис. 106.

Заметьте, что в отличие от исходной кривой Коха, этот генератор симметричен относительно своего центра. Он совмещает в себе бухты и полуострова таким образом, что площадь острова на протяжении всего построения остается неизменной. То же верно и для кривых Коха (вплоть до рис. 88).

Тайлинг.Островами Госпера можно полностью, без просветов, покрыть плоскость. Эта процедура называется покрытием, или тайлингом}

Пертайлинг.Более того, этот остров самоподобен, в чем легко убедиться, взглянув на области на рисунке, заштрихованные линиями разной толщины. То есть каждый остров можно разделить на семь «провинций», каждая из которых может быть получена из целого острова преобразованием подобия с коэффициентом r=1/√7 . Для обозначения покрытия плоскости с помощью таких самоподобных плиток я предлагаю ввести новый термин пертайлинг (латинская приставка per- служит здесь для выражения совершенства и всеохватности процесса).

В большинстве случаев покрытия плоскости плитку нельзя разделить на какое-либо количество меньших плиток, подобных исходной. Многих, например, чрезвычайно раздражает, что сложенные вместе правильные шестиугольники не образуют столь же правильного большего шестиугольника. Из плиток Госпера вполне можно «состряпать» достаточно близкое подобие шестиугольника, способное точно разделиться на семь одинаковых частей. Другие фрактальные плитки позволяют осуществить деление на другое количество частей.

Франция.Среди географических реалий есть одна фигура удивительно правильной формы, часто называемая за свою правильность Шестиугольником. Речь идет о Франции. Надо сказать, что фигура, символизирующая на географической карте Францию, гораздо меньше напоминает шестиугольник, нежели фигуру, изображенную на рис. 76 (хотя Бретань на нашем рисунке выглядит, пожалуй, несколько недокормленной).

< Почему нельзя провести касательную ни в одной точке этой береговой линии?Выберите неподвижную точку на береговой линии, полученной после некоторого конечного числа этапов построения, и соедините эту точку прямой линией с некоторой движущейся точкой предельной береговой линии. По мере того, как движущаяся точка приближается к неподвижной точке вдоль предельной береговой линии (неважно, справа или слева), соединяющая точки прямая постоянно меняет направление. Такая неподвижная точка называется локсодромной точкой. ►