Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Лакунарность.Фрактальные кривые с одинаковой размерностью D , но разными значениями N и r могут качественно отличаться одна от другой. Ответственный за это параметр, отличный от D , обсуждается в главе 34. ►

Рис. 83. КВАДРАТИЧНЫЙ ОСТРОВ КОХА (РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ D= ln18 / ln6 ~1,6131 )

На этих рисунках изображены те же конструкции, что и на рис. 79, только с другими генераторами. Вот так выглядит генератор для кривой на рис. 85:

а так — для кривой на рис. 84:

Дамбы и каналы этих лоцманских кошмаров становятся все уже по мере того, как мы продвигаемся по направлению к самым дальним мысам полуостровов или самым врезающимся в сушу языкам бухт. Вдобавок ко всему, стремление к сужению наблюдается и по мере роста фрактальной размерности, причем при D~5/3 у этих дамб и каналов появляются «осиные талии».

< О турбулентной дисперсии.На мой взгляд, между последовательностью приближений фрактальных кривых, изображенных на рис. 85, и последовательными стадиями турбулентной дисперсии чернил в воде существует поразительное сходство. Разумеется, реальная дисперсия несколько менее упорядочена, однако это можно имитировать, введя в процесс построения элемент случайности.

Можно сказать, что здесь мы наблюдаем ричардсонов каскад «в деле». Исходная малая толика энергии размазывает квадратное пятно чернил по поверхности воды. Затем первоначальное завихрение расщепляется на меньшие завихрения, воздействие которых носит более локальный характер. Исходная энергия разделяется на все уменьшающиеся порции, пока в конце концов не остается ничего, кроме легкой размытости контуров образовавшегося в результате пятна, как показано на приведенной ниже иллюстрации, позаимствованной из работы Коррсина [87].

Рис. 84 и 85. КВАДРАТИЧНЫЕ ОСТРОВА КОХА (РАЗМЕРНОСТИ БЕРЕГОВЫХ ЛИНИЙ D=5/3~1,6667 И D= ln98 / ln14 ~1,7373 )

То, что ричардсонов каскад порождает фигуру, ограниченную фрактальной кривой, несомненно. А вот с выводом о том, что ее размерность D=5/3 , спешить не стоит. Это значение D соответствует плоским срезам пространственных поверхностей с размерностью D=8/3 , какие часто встречаются в турбулентности. В случае изоповерхностей скалярных величин (рассматриваемых в главе 30) размерность D=8/3 можно объяснить в рамках теории Колмогорова. И все же я бы не стал доверять нумерологическим аналогиям.

В сущности, значение D зависит, скорее всего, от начальной энергии жидкости и от размера сосуда, в котором имеет место дисперсия. При низкой начальной энергии из круглого пятна получится кривая с размерностью D , близкой к 1 (см. рис. 79). При высокой начальной энергии, да еще в маленьком сосуде, можно будет наблюдать более сложную дисперсионную картину, плоские срезы которой будут больше похожи на рис. 84 ( D~1,7373 ); их размерность может даже достичь значения D=2 (см. главу 8). См. также работу [386].

Если последнее заключение верно, следующим шагом необходимо изучить связь между начальной энергией и D и отыскать наименьшее значение энергии, при котором плоский срез пятна имеет D=2 (или D=3 в пространственном случае). Исследовав предельный случай D=2 (см. главу 7), мы убедимся, что он качественно отличается от случая D<2 , так как позволяет любым двум частицам чернил, которые в начале процесса были далеко друг от друга, прийти в асимптотическое соприкосновение. <���Я бы совсем не удивился, если бы оказалось, что за одним термином «турбулентная дисперсия» скрываются два совершенно отличных друг от друга феномена. ►

Постскриптум. Уже после того, как эта иллюстрация появилась во «Фракталах» 1977 г., Пол Димотакис сфотографировал тонкие срезы турбулентной струи, рассеивающейся в ламинарной среде. Сходство снимков с иллюстрацией весьма меня порадовало. ►

Рис. 87 и 88. ОБОБЩЕННЫЕ КРИВЫЕ КОХА И САМОПОДОБИЕ С НЕРАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ( D~1,4490 , D~1,8797 , D~1+ε )

При построении этих конструкций использован метод Коха, но с неравными длинами сторон r m генератора. До сих пор мы подразумевали, что ко всем N «частям», на которые делится наше «целое», применяется один и тот же коэффициент подобия r . При неравных коэффициентах r m кривая Коха несколько теряет в своей неумолимой правильности. На рис. 87 вы можете видеть модифицированную таким образом троичную кривую Коха.

Заметьте, что во всей предшествующей серии иллюстраций построение кривой продолжалось до тех пор, пока не достигало мельчайших деталей заранее определенного размера. Когда r m =r , искомая цель достигается за некоторое заранее определенное число этапов построения, здесь же необходимое число этапов оказывается переменным.

Теперь перед нами стоит задача распространить на данное обобщение рекурсии Коха концепцию размерности подобия. Предположим для начала, что некая стандартная евклидова фигура покрывается подобными ей частями, уменьшенными соответственно в r m раз. При D=1 значение r m должно удовлетворять равенству Σr m =1 ; в общем случае евклидовы фигуры требуют равенства ∑r m D=1 . Далее, для случая фрактальных кривых, которые могут быть разделены на равные части, уже знакомое нам условие Nr D =1 также можно переписать как ∑r m D=1 . Исходя из этих соображений, мы можем построить ренерирующую размерность функцию G(D)=∑r m D и определить D как ее единственный действительный корень при G(D)=1 . Остается выяснить, совпадает ли наша размерность D с размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Да, совпадает — по крайней мере, во всех случаях, о которых мне известно.