Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Неожиданно находят очевидное объяснение и многие математические свойства кривых Пеано. Чтобы объяснить кратные точки, предположим, что некто начинает движение вдоль берега реки, являющейся частью дерева рек Пеано, и движется вверх или вниз по течению, обходя даже самые маленькие притоки (причем чем уже приток, тем быстрее движение). Очевидно, что в конечном счете наш путешественник придет в точку, которая находится на другом берегу напротив точки его отправления. А поскольку в пределе река бесконечно узка, то он по существу вернется в начальную точку. Таким образом, кратные точки на кривой Пеано представляются неизбежными не только с математически логической точки зрения, но и с позиций здравого смысла. Более того, эти точки всюду плотны.

Неизбежно также, что некоторые точки он посетит более чем дважды, так как в местах слияния рек совпадают по меньшей мере три береговых точки. Если все слияния ограничиваются только двумя реками, нет необходимости учитывать более чем тройную кратность. С другой стороны, если мы согласны иметь точки более высокой кратности, можно обойтись и без тройных точек.

Все утверждения, высказанные в предыдущих абзацах, доказаны, и, поскольку доказательства весьма деликатны и вызвали в свое время немало бурных дискуссий, сами свойства можно было бы, по всей видимости, отнести к «техническим подробностям». Если бы не одно «но». Кто теперь будет продолжать настаивать, что чисто логический подход к упомянутым свойствам имеет хоть какие-то преимущества перед моим интуитивным подходом, основанном на здравом смысле?

Как правило, реки Пеано представляют собой не стандартные фигуры, но фрактальные кривые. Это весьма удачно для нужд моделирования, так как все, что говорилось в главе 5 относительно неспрямляемости географических кривых, в полной мере касается и берегов рек. Больше того, среди приводимых Ричардсоном данных имеются сведения и о таких государственных границах, которые частично проходят по рекам и границам водоразделов. А в цитате из Штейнгауза [539] реки и вовсе упоминаются открытым текстом. Что касается водосборных бассейнов рек, то каждый из них может быть окружен замкнутой кривой, напоминающей береговую линию и составленной из участков границы водораздела. Бассейн любой крупной реки представляет собой совокупность бассейнов более мелких рек и притоков, вдоль и поперек исчерченную этими самыми реками и притоками, однако для исчерпывающего описания столь сложной на первый взгляд структуры нам необходимы всего лишь несколько заполняющих плоскость кривых, ограниченных кривыми фрактальными.

Возьмем оригинальную кривую Пеано (см. рис. 95) и представим величину t как число в системе исчисления с основанием N=9 вида 0,τ 1 ,τ 2 ,... Значения времени с одинаковым первым «знаком» после запятой отобразятся на одну и ту же девятую часть исходного квадрата, значения с одинаковым вторым «знаком» отобразятся на одну и ту же восемьдесят первую ( 9 2 ) часть исходного квадрата и т. д. Таким образом, покрытие отрезка [0, 1] отображается на покрытие квадрата. Последовательные девятые доли линейных плиток отображаются на последовательные подплитки плоскости. А свойство отрезка, именуемое пертайлинг, т. е. рекурсивная и бесконечная разбиваемость на меньшие плитки, подобные целому отрезку [0, 1], отображается на аналогичное свойство квадрата. Различные движения Пеано, коими мы обязаны Э.Чезаро и Д. Пойа, отображают это свойство также и на всевозможные самоподобные покрытия треугольников.

В более общем смысле большинство движений Пеано порождают самоподобные покрытия плоскости. В простейшем случае существует некое основание N , и мы начинаем с линейного пертайлинга, заключающегося в последовательном разбиении целого на N -е доли. Однако прохождение снежинки, изображенное на рис. 104 и 105, подразумевает неравномерное разбиение интервала времени t [0, 1] сначала на четыре подынтервала длиной 1/9 , затем на четыре подынтервала длиной 1/9√3 , один — 1/9 , два — 1/9√3 и два — 1/9 .

Движения Пеано нередко подразумевают весьма деликатные взаимоотношения между длиной и площадью, в которых эти понятия подчас меняются местами. Особенно характерно это для изометрического движения, т.е. такого, при котором временной интервал [t 1,t 2] отображается на площадь, равную длине |t 1−t 2| (Большинству движений Пеано присущи одновременно и изометрия, и пертайлинг, однако эти два понятия не следует смешивать.) Называя отображение временного интервала [t 1,t 2] плоским интервалом Пеано, мы подразумеваем, что вместо измерения расстояний через изменение значения времени, можно измерять их непосредственно на площади. Здесь, правда, возникает одна весьма существенная сложность — точки, расположенные напротив друг друга на разных берегах реки, совпадают в пространстве, но посещаются в разные моменты времени.

Определение «расстояния Пеано» может включать в себя только порядок посещений. Обозначим моменты первых посещений точек P 1 и P 2 через t' 1 и t' 2 , а моменты последних посещений — через t'' 1 и t'' 2 . Тогда левый интервал Пеано L{P 1,P 2} определяется как отображение интервала [t' 1,t' 2] , а правый интервал Пеано R{P 1,P 2} — как отображение интервала [t" 1,t" 2] . Длины этих интервалов определяют левое и правое расстояния как |L{P 1,P 2}|=|t' 1−t' 2| и {R{P 1,P 2}|=|t" 1−t" 2| . Каждое из этих расстояний аддитивно, т. е. если расположить, скажем, три точки P 1 , P 2 и P 3 в порядке их первых посещений, то мы получим

|L{P 1,P 3}|=|L{P 1,P 2}|+|L{P 2,P 3}| .

Другие определения интервала и расстояния различают точки реки и точки водораздела. Обозначим через t' и t'' моменты первого и последнего посещения точки P . Точка P считается точкой реки, если отображение интервала [t',t"] ограничено этой точкой и кривыми водораздела. Последовательные посещения точки P располагаются друг против друга на противоположных берегах реки. Точка P считается точкой водораздела, если отображение интервала [t',t"] ограничено этой точкой и реками.

В случае, если кривая Пеано представлена как общая граница между деревом рек и деревом водоразделов, пути, соединяющие точки P 1 и P 2 , расположенные на противоположных берегах реки (т. е. вдоль водораздела), включают в себя наикратчайший общий путь. Представляется разумным при измерении расстояния между точками P 1 и P 2 следовать как раз этим путем. Если не считать некоторых исключений, размерность D как дерева рек, так и дерева водоразделов строго меньше 2 и строго больше 1. Следовательно, наикратчайший путь нельзя измерить ни длиной, ни площадью, однако в типичных случаях он имеет нетривиальную хаусдорфову протяженность в размерности D .