Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Упомянутые работы Кантора, помещенные на с. 305 – 414 второго тома «Acta» (само множество попало на с. 407), являются переводами на французский, выполненными при поддержке Миттаг – Леффлера, тогдашнего редактора «Acta», желающего помочь Кантору в борьбе за признание. Некоторые из них (см. подраздел ЭРМИТ, на с. 578) редактировал Пуанкаре. Однако еще прежде, чем работы Кантора вышли на немецком языке, Пуанкаре уже опубликовал в «Comptes Rendus» вкратце свои результаты. Пуанкаре настолько быстро воспринял одно из нововведений Кантора, что в своей первой статье в «Acta» именовал множества исключительно немецким термином Mengen, не желая тратить время на поиски французского эквивалента.

И наконец, Данжуа [101]: «Некоторые ученые разделяют истины на две категории: одни истины со вкусом одеты, хорошо образованны и воспитаны в соответствии с приличиями, для других же дверь дома джентльмена должна оставаться закрытой. Я говорю о теории множеств, которая, тем не менее, открывает перед нами целую новую Вселенную, несравненно более обширную и менее искусственную, более простую и логичную, более пригодную для моделирования физической Вселенной – одним словом, более истинную, чем известная нам Вселенная.

Канторова пыль обладает многими свойствами непрерывной материи и демонстрирует весьма глубокое соответствие реальности».

В другой работе ([102], с. 23) Данжуа пишет: «Я считаю очевидным, что разрывные модели гораздо более удовлетворительно и успешно, нежели модели общепринятые, объясняют целый ряд естественных феноменов. И поскольку о законах разрывности известно гораздо меньше, чем о законах непрерывности, первые следует изучать как можно более широко и подробно. Когда степени понимания обоих родов законов сравняются, физики получат возможность применять тот или другой подход в соответствии с текущей необходимостью».

К сожалению, Данжуа не подкрепляет эти «мечтания» никакими конкретными разработками, ограничиваясь общими местами из Пуанкаре и Пенлеве. Исключение, пожалуй, составляет лишь его работа по дифференциальным уравнениям на поверхности тора (1932). Отвечая на вопрос, поставленный Пуанкаре, Данжуа показывает, что пересечение решения и меридиана может представлять собой весь меридиан или любую заданную канторову пыль. Первый случай – в отличие от последнего – согласуется с физическим понятием эргодического поведения. Аналогичный пример приводит Боль в 1916 г.

Жак Адамар (1865 – 1963) был знаменитым математиком и специалистом в математической физике, а Арно Данжуа (1884 – 1974) – выдающимся математиком-теоретиком и не имел среди физиков никакого веса. Так или иначе, их мысли не нашли в то время отклика. Оба отдали дань уважения Пуанкаре и Пенлеве, возродив идеи, которые их авторы так и не удосужились подкрепить повторением.

Сегодняшнее возрождение интереса к Пуанкаре может послужить оправданием для приведения здесь одной технической подробности, не имеющей непосредственного отношения к настоящему эссе.

Речь идет о конструкции, известной физикам под названием канонического распределения Гиббса, а статистикам – под названием распределения экспоненциального типа. В [476] Пуанкаре стремится найти такие распределения вероятностей, чтобы максимальная оценка параметра правдоподобия p , вычисляемого на основании M выборочных значений x 1 ,...,x m ,...,x M , имела бы вид . Иными словами, должна существовать возможность изменять масштаб значений x и p в таких распределениях с помощью функций F(x) и G −1 (p) так, чтобы максимальная оценка правдоподобия p была бы равна выборочному среднему переменной x . Это, конечно же, происходит в том случае, когда параметр p является математическим ожиданием гауссовой переменной, однако Пуанкаре дает более общее решение, называемое сейчас распределением Гиббса.

Этот факт был заново и независимо обнаружен Сцилардом в 1925 г. Затем, около 1935 г., Купман, Питман и Дармуа задались тем же вопросом относительно наиболее общей процедуры оценивания при отсутствии ограничений на максимальное значение оценки правдоподобия. Это свойство распределения Гиббса, называемое статистиками достаточностью, играет центральную роль в аксиоматическом представлении статистической термодинамики Сциларда – Гиббса (см. [339, 344]). При таком подходе свойственная статистическим выводам произвольность присутствует в определении температуры замкнутой системы, но отсутствует в выведении канонического распределения. (Более позднее аксиоматическое представление, основанное на «Правиле максимальной информации», объявляет само каноническое распределение статистическим выводом, что, на мой взгляд, искажает его смысл.)

Евклид (ок. 300 г. до н. э.).Понятие размерности лежит в основе определений, которые открывают первую книгу «Начал» Евклида, посвященную геометрии плоскости:

1. Точка есть фигура, не имеющая частей.

2. Линия есть фигура, обладающая длиной, но не обладающая шириной.

3. Оконечностями линии являются точки.

4. Поверхность есть фигура, обладающая только длиной и шириной.

5. Оконечностями поверхности являются линии.

Развитие темы находим в определениях, с которых начинается короткая девятая книга, посвященная геометрии пространства:

1. Тело есть фигура, обладающая длиной, шириной и глубиной.

2. Оконечностями тела являются поверхности.

(На эту тему у Хита [208] имеются подробные комментарии.)

Происхождение перечисленных идей покрыто мраком неизвестности. Гатри (см. [185], т. 1) усматривает следы понятия размерности еще у Пифагора (582 – 507 г. до н. э.), Ван – дер – Варден же полагает, что эти следы не следует принимать в расчет. С другой стороны, Платон (427 – 347 г. до н. э.) в седьмой книге своего «Государства» комментирует Сократа следующим образом: «после плоских поверхностей … правильным будет добавить к двум измерениям третье … то есть измерение, присущее кубам и прочим телам, обладающим глубиной». Было бы весьма полезно разузнать больше о других доевклидовых исследованиях, связанных с понятием размерности.

Риман.Отсутствие каких бы то ни было исследований концепции размерности было отмечено Риманом в его диссертации «О гипотезах, сформировавших фундамент геометрии» (1854).