Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Основная цель этой главы — по возможности безболезненное — но достаточно подробное — ознакомление читателя с еще одним математическим объектом из тех, что обычно рассматриваются как патологические, — с канторовой пылью, С. Фрактальная размерность канторовой пыли и других родственных ей пыльных структур, которые мы здесь рассмотрим, находится в интервале от 0 до 1.

Так как эти структуры образованы точками на прямой, их сравнительно легко изучать. Кроме того, с их помощью можно в наипростейшей форме представить некоторые понятия, занимающие центральное место в теории фракталов, но настолько редко применявшиеся в прошлом, что для их обозначения даже не было придумано терминов. Начнем с термина «пыль», который теперь приобретает специальный смысл как неформальный эквивалент термина «множество, топологическая размерность D T которого равна 0» (так же, как «кривая» и «плоскость» означают множества, топологическая размерность которых равна, соответственно, 1 и 2). Другие новые термины — такие, например, как творог, пауза и трема — будут объяснены ниже.

Обычный человек называет шумом звук, который либо слишком силен, либо не имеет подходящего ритма или ясной цели, либо просто мешает слушать более приятные звуки. Партридж [463] заявляет, что слово «шум» «происходит от латинского nausea «тошнота» (родственного латинскому же nautes «моряк»); можно легко проследить семантическую связь, представив себе звуки, издаваемые толпой пассажиров древнего корабля, попавшего в бурю». («Оксфордский словарь английского языка», похоже, имеет на этот счет другое мнение.) Что до современной физики, то она определяет термин «шум» (менее живописно и далеко не так точно) как синоним случайных флуктуаций или ошибок независимо от их происхождения или проявлений. Канторова пыль С в этой главе вводится через изучение прецедента, а в роли прецедента выступает несколько эзотерический, но довольно простой шум.

Канал передачи — это некая физическая система, способная передавать электрический сигнал. Однако электрический ток, к сожалению, не свободен от спонтанных шумов. Качество передачи зависит от вероятности возникновения ошибок, обусловленных шумовыми искажениями, которые, в свою очередь, зависят от отношения интенсивности сигнала и шума.

В этой главе мы будем говорить о каналах, по которым данные передаются между компьютерами и используются чрезвычайно сильные сигналы. Интересная особенность заключается в том, что сигнал дискретен; следовательно, распределение шумов донельзя упрощается распределением ошибок. Шум представляет собой некую функцию, которая может иметь множество значений, в то время как функция ошибок может иметь только два возможных значения. В ее роли может выступать, скажем, характеристическая функция, которая при отсутствии ошибок в некий момент времени t равна 0, а при наличии ошибки принимает значение 1.

Физики уже разобрались в структуре шумов, которые преобладают в случае слабых сигналов (тепловой шум, например). Однако в вышеописанной задаче сигнал настолько силен, что классическими шумами можно пренебречь.

Что касается тех шумов, которыми пренебречь нельзя, — избыточных шумов — они сложны и захватывающи, потому что о них почти ничего не известно. Мы рассмотрим один такой избыточный шум, который приблизительно в 1962 году настолько заинтересовал инженеров- электриков, что для его изучения потребовалась помощь различных специалистов в других областях. Я также внес свой скромный вклад в общее дело — занимаясь именно этой конкретной практической задачей, я впервые ощутил нужду во фракталах. Никто в то время даже отдаленно не представлял себе, насколько далеко заведет нас тщательное изучение этой, казалось бы незначительной, инженерной проблемы.

Подвергнем ошибки анализу с постепенно возрастающей точностью. Грубый анализ показывает наличие периодов, во время которых не зарегистрировано ни одной ошибки. Условимся называть эти периоды затишья «паузами нулевого ранга», если их длительность превышает один час. Любой временной промежуток, ограниченный с обеих сторон паузами нулевого ранга, назовем «пакетом ошибок нулевого ранга». Увеличив точность анализа в три раза, мы увидим, что исходный пакет также «прерывист». То есть более короткие паузы «первого ранга» длительностью 20 мин или больше перемежаются более короткими пакетами «первого ранга». Аналогично, каждый из последних содержит несколько пауз «второго ранга» длительностью 400 с, разделяющих пакеты «второго ранга» и т.д.; каждый этап основывается на паузах и пакетах, в три раза более коротких, чем предыдущие. Грубую иллюстрацию этого процесса можно видеть на рис. 120. (На пояснение пока внимания не обращайте.)

Предыдущее описание предполагает существование такого понятия, как относительное расположение пакетов k -го ранга внутри пакета k−1 -го ранга. Распределение вероятностей этих относительных расположений, по всей видимости, не зависит от k . Очевидно, такая инвариантность говорит о самоподобии, а там и до фрактальной размерности недалеко, однако не будем спешить. Рассмотрения различных прецедентов, содержащиеся в настоящем эссе, нацелены, помимо прочего, как на обнаружение нового, так и на уточнение старого. Исходя из этих соображений, представляется оправданным несколько изменить исторический порядок и представить новое с помощью грубого неслучайного варианта стохастической модели ошибок Бергера - Мандельброта (см. главу 31).

В предыдущем разделе мы предприняли попытку построить множество ошибок, начав с прямой линии, представляющей временную ось, и вырезая все уменьшающиеся свободные от ошибок паузы. Возможно, для естественных наук такая процедура и внове, однако в чистой математике она используется довольно давно — по меньшей мере, со времен Георга Кантора (см. [207], особенно с. 58).

У Кантора (см. [62]) инициатором служит замкнутый интервал [0,1]. Термин «замкнутый» и квадратные скобки означают, что крайние точки принадлежат интервалу: такая запись уже использовалась в главе 6, однако до сих пор у нас не было необходимости указывать на это явным образом. Первый этап построения состоит в разделении интервала [0,1] на три участка и удалении открытой средней трети, которая обозначается ]1/3, 2/3[. Термин «открытый» и развернутые квадратные скобки означают, что крайние точки интервала в этот интервал не входят. Затем удаляются средние трети каждого из N=2 оставшихся отрезков. И так далее до бесконечности.