Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Получаемое в результате множество остатков C называется либо двоичным, поскольку N=2 , либо троичным, поскольку исходный интервал делится на три части.

В общем случае количество частей, называемое основанием, обозначается буквой b , причем отношение между N -й частью множества и всем множеством определяется коэффициентом подобия r=1/b . Множество C называется также канторовым дисконтинуумом; чуть позже я предложу свой термин «канторова фрактальная пыль». И еще: так как точка на временной оси отмечает некое «событие», множество C представляет собой фрактальную последовательность событий.

В рамках термина, который Льюис Ричардсон применил к турбулентности, а мы позаимствовали для описания береговых линий и кривых Коха в главе 6, канторова процедура является каскадом. «Вещество», однородно распределенное вдоль инициатора [0, 1], подвергается воздействию центробежного вихря, который «сметает» его к крайним третям интервала.

Среднюю треть, вырезанную из интервала [0, 1], мы будем называть трёма-генератором. Этот неологизм образован от греческого слова, означающего «дыра, отверстие» (дальним родственником этого слова является латинское termes «термит»). Это, пожалуй, самое короткое греческое слово из тех, что на сегодняшний день еще не обзавелись значительной терминологической нагрузкой.

В данном контексте тремы совпадают с паузами, однако в других примерах, с которыми мы встретимся позже, совпадения не происходит, поэтому и возникла необходимость в двух разных терминах.

По мере того, как опустошается «трема первого порядка», вещество сохраняется и перераспределяется с однородной плотностью по внешним третям, которые мы будем называть предтворогом. Здесь в действие вступают еще два вихря, и та же процедура повторяется на интервалах [0, 1/3] и [2/3, 1]. Процесс продолжается как ричардсонов каскад, стремясь в пределе к множеству, которое мы назовем творогом. Если длительность этапа пропорциональна размеру вихря, то общая длительность процесса конечна.

Для пространства, не занятого творогом, я предлагаю термин сыворотка (в совокупности получаем вполне полноценную простоквашу).

Предполагается, что эти термины будут использоваться не только в их математическом значении, но для выражения их физического смысла. Створаживанием можно называть любой каскад неустойчивых состояний, приводящий в итоге к сгущению вещества, а термин творог может определять объем, внутри которого некая физическая характеристика становится — в результате створаживания — чрезвычайно концентрированной.

Этимология.Слово «творог» происходит от древнеанглийского crudan «давить, жать, сильно толкать». Не следует думать, будто эта маленькая демонстрация эрудиции, позаимствованной у Партриджа [463], является абсолютно бесполезной — этимологические родственники творога несомненно интересуют нас с фрактальной точки зрения (см. гла- ву 23).

Обратите внимание на цепочку свободных ассоциаций: творог > сыр> молоко > Млечный Путь > Галактика (греч. “гала” переводится как «молоко») > галактики. Термин створаживание пришел мне в голову, когда я занимался как раз галактиками, и этимологическая подоплека «галактического створаживания» весьма меня заворожила.

В качестве прелюдии к экстраполяции множества C давайте припомним кое-что из истории. Кантор представил миру множество C , едва покинув поле своей прежней деятельности — изучение тригонометрических рядов. Поскольку такие ряды тесно связаны с периодическими функциями, единственная доступная им экстраполяция заключается в бесконечном повторении. Вспомним теперь такие говорящие термины, как внешний и внутренний предел, которые мы в главе 6 позаимствовали из теории турбулентности. Под этими терминами понимают размеры ε и Ω , соответственно наименьшего и наибольшего элемента множества, — можно сказать, что Кантор решил ограничиться порогом Ω=1 . На k -м этапе построения ε=3 −k , однако для самого C порог ε=0 . Для получения любого другого Ω<���∞ — например, приличествующего ряду Фурье значения 2π , — необходимо увеличить периодическую канторову пыль в Ω раз.

Однако при таком повторении разрушается самоподобие, которым мы в настоящем эссе весьма дорожим. Чтобы этого избежать, следует соблюсти два простых правила: инициатор используется только для экстраполяции, а сама экстраполяция происходит в виде обратного или восходящего каскада. На первом этапе множество C увеличивается в 1/r=3 раза и размещается на интервале [0, 3]. В результате получаем множество, включающее в себя множество C и его копию, смещенную вправо и отделенную от C новой тремой, длина которой равна 1. На втором этапе увеличиваем получившееся множество снова в 3 раза и размещаем результат на интервале [0, 9]. Получаем множество C плюс три его копии, смещенные вправо и разделенные двумя новыми тремами длины 1 и одной новой тремой длины 3. Дальнейшие этапы восходящего каскада увеличивают множество C с возрастающим коэффициентом подобия вида 3 k .

При желании можно чередовать, скажем, два этапа интерполяции и один этап экстраполяции и т. д. При таком построении каждая серия из трех этапов увеличивает внешний порог Ω в 3 раза и уменьшает внутренний порог ε в те же 3 раза.

< Отрицательная ось в такой экстраполированной пыли остается пустой — бесконечная трема. Соответствующее понятие мы обсудим позже, в главе 13, где мы рассмотрим (бесконечные) континенты и бесконечные же кластеры. ►

Множество, полученное в результате бесконечных интерполяции и экстраполяции, самоподобно, а его размерность

D= ln N/ ln (1/r)= ln2 / ln3 ~0,6309

представляет собой дробь в интервале от 0 до 1.

Изменяя правила створаживания, мы можем получить другие значения D — собственно, любое значение между 0 и 1. При длине тремы первого этапа 1−2r , где 0 , имеем размерность ln2 / ln (1/r) .

При N≠2 становится доступным еще большее разнообразие. Для множеств c N=3 и r=1/5 находим

D= ln3 / ln5 ~0,6826 .

Для множеств c N=2 и r=1/4 —

D= ln2 / ln4 =1/2 .

Для множеств c N=3 и r=1/9 получаем тот же результат:

D= ln3 / ln9 =1/2 .

Хотя размерности двух последних множеств равны, «выглядят» они очень по-разному. Об этом наблюдении мы будем подробнее говорить в главе 34, где оно приведет нас к концепции лакунарности.