Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Все эти прецеденты заставляют (причем весьма настойчиво) предположить, что показатель де Вокулера D представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.

Очевидно, что диапазон масштабной инвариантности, в котором удовлетворяет неравенству 0 , не должен включать в себя объекты с явно определенными границами — такие, например, как планеты. А вот входят ли в него звезды? Согласно данным, полученным Уэбби ком и приведенным в [135], массу Млечного Пути внутри сферы рад уса R вполне можно представить в виде M(R)∝R D , где величина экстраполируется с галактик. Мы, однако, продолжим наше обсуждение исключительно в галактических терминах.

Вопрос о том, насколько далеко в сторону очень больших масштабов простирается диапазон, внутри которого 0 , весьма противоречив, причем в последнее время он снова привлек к себе внимание. Многие авторы либо прямо заявляют, либо подразумевают, что этот диапазон допускает существование внешнего предела, соответствующего размерам скоплений галактик. Другие авторы выражают свое несогласие с этим мнением. Де Вокулер [104] утверждает, что «кластеризация галактик и, возможно, всех остальных форм материи является доминатной характеристикой структуры Вселенной во всех доступных наблюдению масштабах, причем нет никаких указаний на какое бы то ни было приближение к однородности; средняя плотность вещества неуклонно падает по мере того, как принимаются во внимание все большие объемы пространства, и у нас нет экспериментально подтвержденных оснований полагать, что эта тенденция не распространяется на значительно большие расстояния и меньшие значения плотности».

Дебаты между этими двумя школами, безусловно, весьма интересны и важны — для космологии, но не для нашего эссе. Даже если диапазон, в котором 0 , имеет границы с обеих сторон, само его существование достаточно значительно для того, чтобы оправдать самое тщательное исследование.

В любом случае Вселенная (совсем как тот клубок ниток, о котором мы говорили в главе 6) располагает, по всей видимости, целым рядом различных эффективных размерностей. Если начать с масштабов порядка радиуса Земли, то первой встретившейся нам размерностью будет 3 (такова размерность твердых тел с четкой границей). Далее размерность падает до 0 (так как материя рассматривается как скопление изолированных точек). Далее идет весьма интересный участок, характеризуемый некой нетривиальной размерностью, удовлетворяющей неравенству 0 . Если масштабно-инвариантная кластеризация продолжается до бесконечности, то на этом последнем значении D ряд эффективных размерностей и заканчивается. Если же существует конечный внешний порог, то к списку добавляется четвертый интервал размерностей, внутри которого точки теряют свою индивидуальность, и у нас на руках оказывается однородный газ, т. е. размерность снова возвращается к 3.

Самым же наивным представлением является то, согласно которому галактики распределены во Вселенной приблизительно однородно. В этом случае последовательность размерностей D сводится к трем значениям: 3, 0 и опять 3.

< Общая теория относительности утверждает, что при отсутствии материи локальная геометрия пространства стремится стать плоской и евклидовой, в то время как присутствие материи переводит ее в локально риманову. Здесь мы можем говорить о глобально плоской Вселенной, размерность которой равна 3 с локальными значениями D<3 . Такой тип возмущений описан в [519], довольно туманной работе, автор которой приводит (с. 312) пример построения кривой Коха (см. главу 6), не ссылаясь при этом на самого Коха. ►

Нам остается лишь построить фрактал, который удовлетворял бы правилу M(R)∝R D , и посмотреть, как он будет согласовываться с общепринятыми взглядами на Вселенную. Первая подробно описанная модель такого рода была предложена Э. Э. Фурнье д'Альбом (см. главу 40). Хотя книга Фурнье [152] представляет собой по большей части художественный вымысел, замаскированный под научное исследование, в ней все же содержится несколько чрезвычайно интересных соображений, которые мы вскоре обсудим. Сначала же, как мне кажется, следует описать структуру, предложенную Фурнье.

Начинаем построение с правильного восьмигранника, проекция которого представлена в центре рис. 141. Проекция показывает четыре угла квадрата, диагональ которого составляет 12 «единиц», и центр этого квадрата. Однако у восьмигранника есть еще две точки над и под нашей плоскостью на перпендикуляре, проведенном через центр квадрата, на одинаковом расстоянии в 6 «единиц» от этого центра.

Далее каждая точка заменяется шаром радиуса 1, который мы будем рассматривать как «звездный агрегат нулевого порядка». Наименьший шар, содержащий в себе все 7 первоначальных шаров, назовем «звездным агрегатом первого порядка». Агрегат второго порядка получается увеличением агрегата первого порядка в 1/r=7 раз и заменой каждого из новых шаров радиуса 7 копией агрегата первого порядка. Аналогичным образом, агрегат третьего порядка получается увеличением агрегата второго порядка в 1/r=7 раз и заменой каждого из шаров копией агрегата второго порядка. И так далее.

Короче говоря, при переходе между соседними порядками агрегации как число точек, так и радиус шаров увеличивается в 1/r=7 раз. Следовательно, для всякого значения R , которое является радиусом какого-либо агрегата, функция M 0 (R) , определяющая количество точек, содержащихся в шаре радиуса R , имеет вид M 0 (R)=R . Для промежуточных R функция M 0 (R) принимает меньшие значения (достигая R/7 ), однако, согласно общей тенденции, M 0(R)∝R .

Возможно также интерполировать агрегаты нулевого порядка последовательными этапами до агрегатов порядка —1, —2 и т. д. На первом этапе заменим каждый агрегат нулевого порядка копией агрегата первого порядка, уменьшенной в отношении 1/7, и так далее. При таком построении отношение M 0(R)∝R остается истинным для все меньших значений R . После бесконечной экстра- и интерполяции мы получаем самоподобное множество размерности D= ln7 / ln7 =1 .

Кроме того, размерность D=1 объекта в 3-пространстве вовсе не обязывает его непременно быть прямой линией да и любой другой спрямляемой кривой. Ему даже не обязательно быть связным. Каждая размерность D совместима с любой меньшей либо равной по величине топологической размерностью. В частности, топологическая размерность бесконечной в обе стороны вселенной Фурнье равна 0, так как она является вполне несвязной «пылью».