Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Иерархическое распределение фигурирует и в теории Хойла (см. [229]), согласно которой галактики и звезды образуются посредством каскадного процесса, причем начинается этот процесс с однородного газа.

Рассмотрим газовое облако массы M , нагретое до температуры T и распределенное с однородной плотностью внутри шара радиуса R . Как показал Джине, при M 0 /R 0 =JkRT/G возникает «критическая» ситуация. (Здесь k — постоянная Больцмана, a J — числовой коэффициент.) Находясь в критическом состоянии, первичное газовое облако нестабильно и неизбежно должно сжаться.

Хойл постулирует, что (а) величина M 0 /R 0 достигает критического значения где-то в самом начале, (б) сжатие прекращается, когда объем газового облака уменьшается до 1 /25 от первоначального объема, и (в) каждое облако на этом этапе распадается на пять меньших облаков с одинаковыми размерами, массами M 1 =M 0 /5 и радиусами R 1 =R 0 /5 . То есть процесс приходит к тому же месту, на каком начался: результатом его является нестабильное состояние, за которым следует второй этап сжатия и разделения, затем — третий и т. д. Створаживание прекращается лишь тогда, когда облака становятся настолько непрозрачными, что задерживают образующееся при сжатии газа тепло внутри.

Как и в различных других областях, в которых встречаются подобные каскадные процессы, я предлагаю и к этому случаю применить общую терминологию, т. е. пять облаков мы будем называть творогом, а сам каскадный процесс — створаживанием. Как я уже упоминал при введении последнего термина, я просто не мог удержаться от аллюзий с галактиками.

Фурнье ради удобства графического изображения своей модели вводит N=7 , Хойл же утверждает, что физически обоснованным является значение N=5 . Детализация геометрической иллюстрации Фурнье выходит за всякие — разумные или необходимые — рамки. Высказывания Хойла относительно пространственной структуры творога, напротив, довольно туманны. Детальной реализации модели Хойла нам придется подождать до главы 23, где мы рассмотрим случайное створаживание. Как бы то ни было, упомянутые расхождения не имеют принципиального значения: главным является тот факт, что r=1/N , т. е. показатель D=1 должен стать неотъемлемой частью нашего построения, если мы хотим, чтобы створаживание завершалось тем же состоянием, с которого оно начиналось, — а именно, нестабильностью Джинса.

Кроме того, если длительность первого этапа принять за 1, то, согласно данным по газовой динамике, длительность того этапа составит 5 −m . Следовательно, общая длительность всего процесса, состоящего из бесконечного количества этапов, не превышает 1,2500.

На границе нестабильного газового облака, удовлетворяющего критерию Джинса, скорость и температура связаны соотношением V 2 /2=JkT , так как GM/R равно и V 2 /2 (Фурнье), и JkT (Джине). Вспомним теперь о том, что в статистической термодинамике температура газа прямо пропорциональна среднеквадратической скорости его молекул. Значит, из комбинации критериев Фурнье и Джинса можно предположить, что на границе облака скорость падения макроскопического объекта прямо пропорциональна средней скорости его молекул. Тщательный анализ роли температуры в критерии Джинса непременно покажет, что эти два критерия эквивалентны. < Вероятнее всего, аналогия распространяется и на справедливость отношения M(R)∝R внутри галактик, о чем сообщает Валленквист в [583]. ►

Расхождение между эмпирическим значением D=1,23 и теоретическим значением Фурнье и Хойла D=1 поднимает важную проблему. П. Дж. Э. Пиблс рассмотрел ее в 1974 г. с позиций теории относительности. В его труде [467] получили исчерпывающее освещение физический и статистический (но не геометрический) аспекты упомянутой проблемы.

Небо — это проекция Вселенной. Для получения этой проекции каждая точка Вселенной сначала описывается сферическими координатами ρ , θ и φ , а затем координата ρ заменяется на 1. Если Вселенная представляет собой фрактал с размерностью D , а начало системы отсчета принадлежит этой самой Вселенной (см. главу 22), то структура проекции, как правило, определяется следующей альтернативой: D>2 подразумевает, что проекция покрывает некую ненулевую область неба, в то время как D<2 означает, что сама проекция имеет фрактальную размерность D . < Как показано на рис. 141 и 143, «правило» не лишено исключений, обусловленных структурой фрактала и/или/ выбором точки отсчета. О таких правилах часто говорят «истинно с вероятностью 1». ►

Правило из предыдущего раздела имеет непосредственное отношение к мотивации, побуждавшей различных исследователей (включая Фурнье) открывать собственные варианты фрактальной Вселенной. Они понимали, что такие вселенные геометрически «отменяют» эффект пылающего неба, который еще часто (но неверно) называют парадоксом Олъберса. Если допустить, что распределение небесных тел равномерно (т. е. D=3 во всех масштабах), то небо над нами должно быть почти равномерно освещено и ночью, и днем, причем яркость этого освещения должна быть сравнима с солнечной.

Парадокс этот физиков больше не интересует, будучи сведен на нет теорией относительности, теорией расширяющейся Вселенной и другими соображениями. Однако его кончина имела занятный побочный эффект: многочисленные комментаторы принялись цитировать свои излюбленные объяснения эффекта пылающего неба — одни в надежде оправдаться за пренебрежительное отношение к кластеризации, другие же, напротив, напрочь отрицая ее реальность. Очень странная, надо сказать, точка зрения. Даже если предположить, что кластеризация галактик никак не связана с отсутствием эффекта пылающего неба, она все равно существует — и требует надлежащего изучения. К тому же, как мы увидим в главе 32, концепция расширяющейся Вселенной совместима не только со стандартной, но и с фрактальной гомогенностью.

Эффект пылающего неба объясняется очень просто. Поскольку количество излучаемого звездой света прямо пропорционально площади ее поверхности, количество света, достигающее наблюдателя, находящегося от звезды на расстоянии R , должно быть ∝1/R 2 , но площадь видимой поверхности звезды также ∝1/R 2 . Таким образом, отношение количества света к видимому сферическому углу не зависит от R . Кроме того, если распределение звезд во Вселенной равномерно, то практически любое направление взгляда рано или поздно встретит какую-нибудь звезду. Следовательно, небо освещено звездным светом равномерно и выглядит пылающим. (Лунный диск в этом случае образует исключительно темную область — по крайней мере, при отсутствии атмосферной диффузии.)