Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Целый широкий класс геометрических задач возникает в том случае, когда среда турбулентна во всем своем объеме; при этом взаимодействующие области отличает друг от друга какая-либо «пассивная» или инертная характеристика, которая никак не влияет на поток. Лучшим примером здесь будет рассеиваемая турбулентностью капля краски. Во все стороны от капли расходятся хорошо видимые бесконечно ветвящиеся языки всевозможных форм и размеров — и ни существующие методы анализа, ни стандартная геометрия не смогут оказать нам сколько-нибудь существенную помощь в описании образующихся фигур. На рис. 85 и в статье [386] вы найдете доводы в пользу фрактальной природы этих фигур.

Турбулентность при ясном небе.Изученные мною разрозненные источники дают возможность сделать вывод, что несущее множество этого феномена фрактально.

Поток вдоль фрактальной границы.Еще один типичный случай, в котором гидромеханике не обойтись без фракталов (см. рис. 74 и 104).

Растягивание вихрей.Движение жидкости заставляет вихри растягиваться, а растягиваемый вихрь должен сплющиваться, чтобы сохранить фиксированный объем при увеличивающейся длине. Я предполагаю, что в пределах масштабной инвариантности потока форма вихря стремится к фрактальной.

Траектория частицы в жидкости.В грубом приближении, навеянном птолемеевой моделью планетарного движения, представим себе частицу, которую несет вертикально вверх с единичной скоростью общее течение жидкости и которая испытывает возмущающее воздействие иерархии вихрей, каждый из которых совершает вращательное движение в горизонтальной плоскости. Результирующие функции x(t)−x(0) и y(t)−y(0) представляют собой суммы косинусоид и синусоид. Если высокочастотные члены очень слабы, то траектория частицы непрерывна и дифференцируема, а значит спрямляема, и ее размерность равна D=1 . Если же высокочастотные члены сильны и достигают 0, то траектория фрактальна с размерностью D>1 . Предположив, что вихри самоподобны, мы получаем траекторию, идентичную знаменитому пугалу математического анализа: функции Вейерштрасса (см. главы 2, 39 и 41). Это приводит нас к вопросу: можно ли связать переход всего объема жидкости в состояние турбулентности с условиями, при которых траектория движущейся в этой жидкости частицы фрактальна?

Турбулентность в конце концов заканчивается рассеянием: благодаря вязкости жидкости энергия видимого движения преобразуется в тепло. В ранних теориях предполагалось, что это рассеяние однородно в пространстве. Однако надежды на то, что модель «гомогенной турбулентности» может иметь хоть какой-то смысл были рассеяны Ландау и Лифшицем [286], которые отмечают, что одни области характеризуются высокой степенью рассеяния, тогда как в других по сравнению с первыми рассеяние практически отсутствует. Это означает, что хорошо известное свойство ветра налетать порывами отражено — и даже более последовательным образом — и в меньших масштабах.

Этот феномен, получивший название перемежаемость, был впервые исследован в работе [19], с. 253. См. также [18] (раздел 8.3), [433] и [434]. Особенно ярко выражена перемежаемость при очень больших числах Рейнольдса, т. е. когда внешний порог турбулентности достаточно велик по отношению к ее внутреннему порогу (например, на звездах, в океанах и в атмосфере).

Области, в которых сосредоточивается рассеяние, весьма удобно называются несущими или опорными.

Тот факт, что мы сводим в этом эссе вместе перемежаемость турбулентности и распределение галактик, совершенно естествен и даже не нов. Некоторое время назад физики (например, [579]) предприняли попытку объяснить происхождение галактик с помощью турбулентности. Понимая, что гомогенная турбулентность не сможет объяснить звездной перемежаемости, фон Вайцзекер набросал несколько поправок в духе модели Фурнье (или Шарлье, см. главу 9), а, значит, и в духе представляемой здесь теории. Если бы сегодня кто-нибудь занялся подобной объединяющей деятельностью, он вполне смог бы установить физическую связь между двумя типами перемежаемости и определить соответствующие самоподобные фракталы.

Одной из целей такого объединения может быть соотнесение размерности распределения галактик ( D~1,23 , как нам известно) с размерностью, характеризующей турбулентность (где-то в районе 2,5-2,7).

Как мы заметили, один и тот же термин «турбулентность» применяется, как ни странно, для обозначения нескольких различных феноменов. Возможно, факт отсутствия четкого определения станет более понятным, если допустить — а я не просто допускаю, я заявляю, что так оно и есть, и намерен это доказать, — что подобающее определение турбулентности требует участия фракталов.

При слове «турбулентность» перед нашим мысленным взором появляется картинка, которая не меняется вот уже почти сто лет, с тех самых пор как Рейнольде впервые описал этот феномен по отношению к потоку жидкости в трубе: когда давление впереди потока мало, движение регулярно и «ламинарно», как только давление возрастает до определенной величины, вся регулярность неожиданно куда-то пропадает. В этом классическом примере носителя турбулентного рассеяния либо нет вообще, «пустое множество», либо им является вся труба целиком. И в том, и в другом случае отсутствуют не только достойные изучения геометрические особенности, но и сколько-нибудь веская причина для определения турбулентности.

С кильватерными струями все не так просто. Здесь существует граница между зоной турбулентности и окружающей ее водой, и геометрические особенности этой границы уже стоит изучить. Однако граница эта снова столь четко выражена, что не возникает насущной необходимости в отыскании «объективного» критерия для определения турбулентности.

Полностью установившаяся турбулентность в аэродинамической трубе также не представляет особых сложностей для исследователя, поскольку, как и в трубе Рейнольдса, зона турбулентности, по всей видимости, охватывает весь доступный объем. Тем не менее, используемые для достижения этого эффекта процедуры иногда весьма любопытны, если верить кое-каким упорно циркулирующим слухам. Говорят, что когда аэродинамическая труба только что запущена, она совершенно не годится для изучения турбулентности. Турбулентность не только не желает заполнять весь доступный ей объем, она и сама выглядит «турбулентной», проявляясь в нерегулярных и неконтролируемых порывах. Только после долгих трудов удается стабилизировать всю систему, превратив ее в некое подобие трубы Рейнольдса. Благодаря этому факту я числю себя среди тех, кому интересно, в какой степени неперемежающаяся «лабораторная турбулентность» в аэродинамических трубах может считаться тем же физическим явлением, что и перемежающаяся «естественная турбулентность» в атмосфере. Вывод: необходимо определиться с терминами.