Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Вернемся снова к природе, вернее, к образу природы, описываемому статистической физикой. Я полагаю, что при изучении перколяции сквозь решетки нам просто не обойтись без кого-нибудь из родственников салфетки Серпинского. В главе 13, открывающей рассмотрение данного прецедента, утверждалось, что перколяционные кластеры фрактальны. Теперь я пойду дальше и скажу, что разветвленная структура салфетки Серпинского представляет собой весьма многообещающую модель структуры магистралей кластеров.

Физики оценят эту модель главным образом по тому факту, что она работает, и работает быстро: в статье [166] показано, что с помощью такой модели можно выполнять обычные вычисления точно. Подробности слишком специальны для того, чтобы войти в настоящее эссе, а вот причины, благодаря которым я пришел к этим выводам, могут оказаться интересными. Впервые я задумался об этом, когда заметил сходство между салфеткой Серпинского и магистралями кластеров, показанными на следующем рисунке:

Наиболее явная причина заключена в тремах, оставшихся пустыми после удаления болтающихся связей (образовавшихся после сокращения кластера до магистрали) и кластеров, целиком содержащихся внутри заинтересовавшего меня кластера. Вторая причина: в главе 13 мы показали, что самоподобие является в высшей степени желательным свойством для геометрической модели перколяционного кластера, а ветвление салфетки Серпинского как раз самоподобно. И наконец, размерности этих двух структур настолько близки, что это едва ли может быть простым совпадением! Согласно оценке С. Киркпатрика, плоский кластер имеет размерность D~1,6 — поразительно близко к размерности D салфетки Серпинского! Размерность же пространственного кластера D~2,0 почти совпадает с фрактальной размерностью асимметричной паутины на рис. 207. Кроме того, в [166] показано, что идентичность размерности D магистрали и размерности обобщенной салфетки сохраняется и в R 4 . Еще один аргумент в пользу «салфеточной» модели мы представим несколько позже в виде последнего приложения ветвления.

Перейдем от треугольных решеток к прямоугольным. Они демонстрируют большое разнообразие возможных конструкций — кривых на плоскости и в пространстве и поверхностей в пространстве. Что касается кривых, то они, несмотря на внешнее сходство с салфеткой Серпинского, весьма отличны от нее с фундаментальной точки зрения на ветвление, к которой мы еще вернемся после определения этих кривых.

Буквальное распространение на плоскость канторова метода удаления средних третей описано в пояснении к рис. 205; инициатором такого построения служит квадрат. Фрактал, получаемый бесконечным повторением этого процесса, широко известен под непритязательным названием троичного ковра Серпинского. Его размерность D= ln8 / ln3 =1,8927 .

Для построения «ковра с большим медальоном в центре» запишем, как обычно, r=1/b , где b — целое число, большее 3; в качестве инициатора возьмем квадрат, в качестве тремы — квадрат со стороной 1−2r с центром в той же точке, а в качестве генератора — узкое кольцо из 4(b−1) квадратов со стороной r . Размерность такого ковра имеет вид D=ln[4(b−1)]/lnb . Если взять нечетное целое b>3 , в качестве тремы — один подквадрат со стороной г и с центром в той же точке, что и центр инициатора, а в качестве генератора — широкое кольцо из (b 3 −1) малых квадратов, то получится «ковер с малым медальоном в центре». Размерность такого ковра имеет вид D= ln (b 3 −1)/ ln b . Таким образом, в центрированных коврах можно получить сколь угодно близкое приближение к любому значению D в интервале от 1 до 2.

Нецентрированные ковры определяются при b≤2 . Например, при b=2 и N=3 можно разместить трему, состоящую из одного подквадрата, в правом верхнем подквадрате. Соответствующее предельное множество оказывается салфеткой Серпинского, построенной из треугольника, образующего левую нижнюю половину квадрата.

Буквальное распространение троичного ковра на пространство начинается с удаления из куба в качестве тремы среднего подкуба (27-й части объема исходного куба), после чего остается «оболочка» из 26 подкубов. Получаемый посредством такой процедуры фрактал я предлагаю назвать троичной фрактальной пеной. Ее размерность D= ln26 / ln3 =2,9656 .

Каждая трема здесь со всех сторон окружена непрерывной границей, разделенной на бесконечное множество бесконечно тонких слоев бесконечной плотности. Для того, чтобы попасть из точки, расположенной в одной треме, в точку, расположенную в другой треме, необходимо пройти сквозь бесконечное количество слоев. Это напоминает «пространственно-временную пену», которая, согласно Дж. А. Уилеру и Дж. У. Хокингу, составляет тончайшую структуру материи. Вынужден, однако, признаться, что я не владею этой темой в достаточной степени, поэтому не решусь обсуждать ее здесь.

Карл Менгер предлагает в качестве тремы другую фигуру: крест, из центра которого спереди и сзади торчит по выступу. При этом от куба остается N=20 связанных друг с другом подкубов со стороной 1/3. Из этих подкубов двенадцать образуют «брусья» или веревки, а остальные восемь являются узлами или соединителями. Размерность предельного множества (см. рис. 208) составляет D= ln20 / ln3 =2,7268 . Я называю эту структуру губкой, так как здесь и творог, и сыворотка представляют собой связные множества. Можно представить себе, как между двумя любыми точками области сыворотки свободно течет вода.

Чтобы получить комбинацию веревок и листов, возьмем в качестве тремы троичный крест всего лишь с одним выступом — спереди. А если при этом время от времени менять направление выступа, то листы в предельной конструкции получатся дырявыми. Возможно, здесь следует упомянуть и о том, что я размышлял обо всех этих формах, когда искал модели для описания турбулентной перемежаемости, — еще до того, как прочел о них у Менгера.

Для получения обобщенных губок Менгера с нетроичным основанием b>3 , трема должна представлять собой комбинацию из трех цилиндров с квадратными основаниями с соблюдением следующих условий: ось каждого из цилиндров должна совпадать с одной из осей единичного куба, длина каждого цилиндра должна быть равна 1, а стороны его основания должны быть параллельны другим осям куба. Чем больше длина стороны основания, тем «легче» получаемая губка. Наибольшая возможная длина стороны основания для случая E=3 составляет 1−2/b , генератор при этом имеет вид комбинации 12b−16 кубов со стороной r=1/b . Отсюда размерность D= ln (12b−16)/ ln b . Аналогичным образом получаем «плотную» губку (только при нечетном b ) — длина стороны основания цилиндра в этом случае равна 1/b . При E=3 генератор имеет вид комбинации b 3 −3b+2 кубов со стороной r=1/b . И размерность теперь равна D= ln (b 3 −3b+2)/ ln b .