Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Число π/2 в знаменателе левой части предыдущего равенства является нормирующим множителем для распределения угла θ, 0 < θ < π/2. Так как длина иглы равна 2 l , то

P (игла пересечет прямую) = 2×(длина иглы)/(длина окружности радиуса α).

Чем объяснить известную популярность этой задачи? Автор считает, что это связано с возможностью экспериментального определения числа π. Плоскость с параллельными прямыми может быть реализована как разграфленная бумага. Если расстояние между прямыми равно длине иглы, то число π может быть оценено как 2/(относительная частота пересечений). Большой точности при этом способе определения π достичь трудно, оценка всегда является рациональным числом, но все же сама возможность определения такой мировой постоянной, как π, опытным путем представляется весьма интересной. Более удобный метод вычисления числа π будет предложен в задаче 55.

Любопытные задачи на подсчет геометрических вероятностей имеются в книге Кендалл М., Моран П., Геометрическая вероятность, «Наука», 1972 г.

Среднее число пересечений вертикальных прямых равно вероятности пересечения одной такой прямой.

Из предыдущей задачи ( a = 1/2) известно, что эта вероятность равна 4 l /π. Среднее число пересечений вертикальных прямых также равно 4 l /π, что можно заметить, поворачивая нашу решетку на 90°. Среднее суммы равно сумме средних, и ответ равен 8 l /π.

Если игла единичной длины, то среднее число пересечений равно 4/π ≈ 1.27.

До этого предполагалось, что игла короче, чем расстояние между прямыми. В следующей задаче это условие не выполнено.

Разделим мысленно иглу на n кусков одинаковой и меньшей единицы длины. При бросании каждого из этих кусков среднее число его пересечений было найдено в предыдущей задаче. Таким образом, согласно уже упоминавшейся теореме о среднем суммы, среднее число пересечений равно 4∙(исходная длина)/π. Тот факт, что игла подбрасывается вся целиком, а не кусочками, не имеет здесь значения.

Для определения числа π эксперимент, отвечающий настоящей задаче, более удобен чем первоначальный, предложенный Бюффоном. (Почему бы не взять лист клетчатой бумаги и не провести его?) Автор провел такой опыт с зубной щеткой и графленой бумагой. Длина щетки была равной 5.2 дюйма, а клетки 1 дюйм. При десяти бросаниях автор получил 8, 6, 7, 6, 5, 6, 7, 5, 5, 7 пересечений, что в сумме дает 62.

Итак, оценкой числа π в этом случае является 4∙5.2/(62/10) ≈ 3.35 вместо 3.14. При другом опыте, состоящем также из 10 подбрасываний, было получено 67 пересечений, что дает оценку 3.10.

Е. Молина предложил эту задачу, чтобы дать формулировку знаменитой проблемы Ферма на вероятностном языке.

Пусть z обозначает число белых шаров в первой урне, x — число белых шаров и y — число черных шаров во второй урне. Тогда задача состоит в том, чтобы найти целые числа n , x , y и z такие, что

или

z n = x n + y n .

Хотя для многих значений n известно, что это уравнение не имеет корней, но не установлено, так ли это при всех n ≥ 3. Доказано, однако, что целочисленных решений нет при n < 2000.

Из таблиц или из непосредственного расчета нетрудно выписать распределения числа простых делителей для небольших значений N .

В таблице 1 приведены результаты для N = 100 и N = 1000 вместе со средними x̅ и дисперсиями s ².

Из этой таблицы, например, видно, что среди первых 100 натуральных чисел ровно 26 простых, у 34 чисел два простых делителя и только у двух шесть простых делителей.

Распределение числа делителей при N = 100 напоминает выборку из закона Пуассона. Для пуассоновских распределений среднее равно дисперсии. Из таблицы видно, что для N = 100 среднее несколько больше дисперсии. Если рассмотреть величину x − 1 вместо x , то новое среднее будет равно 1.40, а дисперсия, равная 1.48, не изменится. Полезно сравнить полученные результаты с табличными вероятностями для закона Пуассона. (Сумма элементов последней строки первой половины табл. 2 не равна 100 из-за округления значений.)

Видно, что при N = 100 совпадение лучше, нежели при N = 1000. Для N = 1000 более точная аппроксимация при небольших значениях x − 1 может быть получена за счет выбора меньшего математического ожидания пуассоновского распределения.

Таблица 2 подтверждает предположение о пуассоновости распределения числа простых делителей, однако картина слишком сложна, чтобы можно было угадать вид параметра этого закона для больших N .

Мы знаем, что вероятность отсутствия простых делителей, т. е. того, что само число просто, равна приближенно 1/ln( N ). Для закона Пуассона вероятность появления 0 равна e −m , где m — математическое ожидание этого распределения (см. задачу 29). Отсюда выводим: