Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Настоящая книга в действительности содержит 57, а не 50 задач. Некоторые задачи являются подготовительными; в силу различия вкусов часть задач может не показаться читателю интересной, наконец, семь задач скорее обсуждаются, чем решаются. Если у читателя не пропадет интерес, то пусть он попытается доказать последнее утверждение в решении задачи 48. Одна из задач служила предметом исследования многих выдающихся математиков. Может быть, кто-то из читателей даст окончательное решение этой задачи? Скорее всего, нет, но кто знает.

Большей частью своего математического образования я обязан решению различных задач. С годами мне все труднее становится отделить серьезные занятия от решения, казалось бы, «игрушечных» задач. Очень часто элементарные задачи оказывались чрезвычайно полезными при решении серьезных проблем.

Занимательность задачи — великое дело. Задача может быть занимательной по многим причинам: потому, что интересно содержание условия, потому, что интуитивно не понятен возможный ответ, потому, что она иллюстрирует важный принцип, потому, что задача обладает большой степенью общности, потому, что она трудна, потому, что в решении спрятана «изюминка» или просто потому, что ответ элегантен и прост.

В настоящей книге большинство задач не сложны, но есть и трудные. Лишь совсем немногие задачи требуют знания курса анализа, но и в этих случаях неподготовленный читатель все равно может понять постановку и ответ. Автора больше интересовала

занимательность задач, нежели их единый математический уровень. В некоторых случаях, когда для решения требуется формула, которую читатель, быть может, не знает наизусть или вообще не знает, она немедленно приводится. Формулы Стирлинга для факториалов (задача 18) и Эйлера для сумм гармонического ряда (задача 14) служат примерами такой ситуации.

Может быть, читатель, так же как и автор, будет удивлен тем обстоятельством, что числа π и e так часто возникают в вероятностных задачах.

Каждый, кто пишет о задачах на теоретико-вероятностные темы, обязан не только своей профессии математика, но и, возможно, В. Уитворту и его книге «Выбор и случай».

Одним из приятных качеств, предисловий является то, что можно выразить свою благодарность друзьям, помогавшим при написании книги. Р. Рурке автор обязан самой идеей написания такой книги и помощью в терминологических вопросах. Мои старые друзья и советчики А. Глисон, Л. Сэвидж и Дж. Уильямс посоветовали добавить в текст новые задачи и некоторые обобщения уже имевшихся. Мне хотелось бы также поблагодарить К.Л. Чжуна, У. Кочрена, А. Демпстера, Б. Фридмана, Дж. Гаррати, Дж. Гилберта, Л. Гудмана, Т. Харриса, О. Хелмера, Дж. Ходжеса, Дж. Кемени, Т. Лерера, Дж. Маркума, Г. Райффа, Г. Скафа, Дж. Томаса, Дж. Тьюки, Л. Дубинса и Н. Ютца.

Читателю, интересующемуся элементарной теорией вероятностей, можно рекомендовать учебник Ф. Мостеллера, Р. Рурке и Дж. Томаса «Вероятность» («Мир», 1969).

Дальнейший материал содержится, например, в книге В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее применения» (т. 1, «Мир», 1967 г.)

1964, Ф. Мостеллер

В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна ½.

(а). Каково минимальное возможное число носков в ящике?

(б). Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?

Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец — чемпион — отец или чемпион — отец — чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему следует выбрать сыну?

В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p , а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p . Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?

В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол?

«Попытай счастья» — азартная игра, в которую часто играют в игорных домах и во время народных гуляний. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка, при этом возвращаются и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку. Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке? (В действительности можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно.)

Браун всегда ставит один доллар на номер 13 в американской рулетке, вопреки совету своего благожелательного друга. Чтобы отучить Брауна от игры в рулетку, этот друг спорит с ним на 20 долларов, утверждая, что Браун останется в проигрыше после 36 игр. Имеет ли смысл Брауну принять такое пари?

(Большинство американских рулеток имеет 38 одинаково вероятных номеров. Если выпадает номер игрока, то он получает свою ставку обратно, плюс же сумму в 35-кратном размере, если нет — теряет свою ставку.)

Часто приходится слышать, что некто при игре в бридж получил на руки 13 пик. Какова вероятность, при условии, что карты хорошо перетасованы, получить 13 карт одной масти? (Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты.)

Игра в «крэпс», для которой нужна только пара костей и совсем немного времени — одна из популярнейших в Америке. С ней связана следующая поучительная задача на подсчет вероятностей.

Правила такие. Игрок бросает две кости и подсчитывает сумму выпавших очков. Он сразу же выигрывает, если эта сумма равна 7 или 11, и проигрывает, если она равна 2, 3 или 12. Всякая другая сумма — это его «пойнт». Если в первый раз выпадает «пойнт», то игрок бросает кости еще до тех пор, пока он или не выиграет, выбросив свой «пойнт», или не проиграет, получив сумму очков, равную 7. Какова вероятность выигрыша?