Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

(а). Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в сто монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?

(б). Каков ответ в предыдущей задаче, если 100 заменить на n ?

Чеканщик кладет m фальшивых монет в ящик, содержащий всего n монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из n ящиков и проверяет их. Какова вероятность того, что в выборке из n монет ровно r фальшивых?

Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии-плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии. Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии? Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу m , то какая доля пластинок содержит ровно m колоний?

Разъезжающий булочник продает в среднем 20 кексов за одну поездку. Какова вероятность того, что он продаст четное число кексов? (Предполагается, что число покупок подчиняется закону Пуассона.)

При каком минимальном числе людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше ½?

(Годы рождения могут и не совпадать.)

Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше, чем ½?

Пусть P r обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в r человек имеют один и тот же день рождения.

Каково должно быть n в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы P r ?

Согласно законам о трудоустройстве в городе N , наниматели обязаны предоставлять всем рабочим выходной, если хотя бы у одного из них день рождения, и принимать на службу рабочих независимо от их дня рождения. За исключением этих выходных рабочие трудятся весь год из 365 дней. Предприниматели хотят максимизировать среднее число человеко-дней в году. Сколько рабочих трудятся на фабрике в городе N ?

Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна 2/3, а шаг к краю имеет вероятность 1/3. Каковы шансы пьяницы избежать падения?

У игрока M имеется 1 доллар, а у игрока N — 2 доллара. После каждого тура один из игроков выигрывает у другого один доллар. Игрок M более искусен, чем N , так что он выигрывает 2/3 игр. Игроки состязаются до банкротства одного из них. Какова вероятность выигрыша для M ?

Человеку, находящемуся в Лас-Вегасе [3] Лас-Веrас - город на западе США, штат Невада, в котором имеется большое количество игорных домов (прим. перев.) . , нужны 40 долларов, в то время как он располагает лишь 20 долларами. Он не хочет телеграфировать жене о переводе денег и решает играть в рулетку (отрицательно относясь к этой игре) согласно одной из двух стратегий: либо поставить все свои 20 долларов на «чет» и закончить игру сразу же, если он выиграет или проиграет, либо ставить на «чет» по одному доллару до тех пор, пока он не выиграет или не проиграет 20 долларов. Какая из этих двух стратегий лучше?

Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась бы 1/3?

Для решения следующих задач нужно знакомство с принципом симметрии.

В лаборатории имеется несколько стеклянных трубок, каждая длиной в 9 см , помеченных с одного конца красной меткой, а с другого — синей. Споткнувшийся лаборант роняет эти трубки на пол, в результате чего многие из них разбиваются на три части. Какова для таких трубок средняя длина куска с синей меткой?

Из хорошо перетасованной колоды в 52 карты, содержащей четыре туза, извлекаются сверху карты до появления первого туза. На каком месте в среднем появляется первый туз?

(а). На железной дороге N поездов с номерами 1, 2, ..., N . Однажды вам встретился поезд с номером 60. Угадайте, сколько поездов на железной дороге.

(б). Вы повстречали 5 поездов, причем 60 по-прежнему наибольший номер. Снова постарайтесь угадать, сколько всего поездов на железной дороге.

(а). Если стержень ломается случайным образом на две части, то какова средняя длина меньшего куска?

(б). (Для лиц, знакомых с интегральным исчислением.) Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?

Стержень ломается случайным образом на три части. Найти средние длины короткого, среднего и длинного кусков.

Игра состоит из последовательности партий, в каждой из которых вы или ваш партнер выигрывает очко, вы — с вероятностью p (меньшей, чем ½), он — с вероятностью 1 − p . Число игр должно быть четным: 2, 4, 6 и т. д. Для выигрыша надо набрать больше половины очков. Предположим, что вам известно, что p = 0.45, и в случае выигрыша вы получаете приз. Если число партий в игре выбирается заранее, то каков будет ваш выбор?