Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Вот два варианта задачи о совпадениях:

(а). Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт?

(б). Секретарша отправляет письма по n различным адресам, причем конверты с адресами выбираются случайным образом. Сколько писем в среднем попадет в нужные конверты?

В условиях предыдущей задачи какова вероятность того, что произойдет ровно r совпадений?

Король для испытания кандидата на пост придворного мудреца предлагает ему женитьбу на молодой придворной даме, имеющей наибольшее приданое. Суммы приданых записываются на билетиках и перемешиваются. Наудачу вытягивается билетик, и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он выносит правильное решение, то получает эту леди в жены вместе с приданым, в противном случае — не получает ничего. При отказе от суммы, указанной на первом билете, мудрец должен вытянуть второй билет и отказаться или нет от него и т. д., пока не сделает выбор или не отвергнет все приданые. При дворе короля 100 привлекательных дам, все их приданые различны. Как должен действовать мудрец?

В предыдущей задаче мудрец не имел информации о распределении чисел на билетах. В следующей задаче это распределение ему известно.

В качестве следующей задачи король предлагает мудрецу выбрать наибольшее из 100 чисел при тех же условиях, что и раньше, но на этот раз число на билете выбирается наудачу среди чисел от 0 до 1 (равномерно распределенные случайные числа). Какой должна быть стратегия мудреца?

Инструмент без систематической ошибки для измерения длин делает случайные ошибки, распределение которых имеет штандарт σ. Вам разрешается произвести всего два измерения для оценки длины двух цилиндрических стержней, один из которых явно длиннее другого. Можете ли вы придумать что-либо лучшее, чем сделать по одному измерению каждого стержня? (Для инструмента без систематической ошибки среднее наблюдений равно истинному значению.)

Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x ² + 2 bx + c = 0 вещественны?

Выходя из начала координат 0, частица с равной вероятностью сдвигается на один шаг либо на юг, либо на север, и одновременно (и тоже с равной вероятностью) на один шаг либо на восток, либо на запад. После того как шаг сделан, движение продолжается аналогичным образом из нового положения и так далее до бесконечности. Какова вероятность того, что частица когда-нибудь вернется в начало координат? (рис. 2)

Рис. 2. Часть решетки из точек, проходимых частицей в задаче о двумерном случайном блуждании. На каждом шаге частица сдвигается из данного положения на северо-восток, северо-запад, юго-восток или юго-запад, причем все эти направления равновероятны.

Как и в предыдущей задаче, частица выходит из начала координат 0 в трехмерном пространстве. Представим себе точку 0 как центр куба со стороною длины 2. За один шаг частица попадает в один из восьми углов куба. Поэтому при каждом шаге частица с равной вероятностью сдвигается на единицу длины вверх или вниз, на восток или на запад, на север или на юг. Какова доля частиц, возвращающихся в начало, при неограниченном времени блуждания?

На плоскость нанесены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2 a . Игла длины 2 l (меньшей, чем 2 a ) брошена наудачу на плоскость. Какова вероятность того, что она пересечет одну из прямых?

Предположим, что на плоскость, разграфленную на единичные клетки вертикальными и горизонтальными прямыми, наудачу брошена игла длиной 2 l (меньшей, чем 1). Каково среднее число прямых, пересекаемых иглою? (Мы считаем, что сторона клетки 2 a равна 1, так как можно измерять длину иглы в единицах длины клеток).

Каков ответ в предыдущей задаче, если длина иглы произвольна?

Две урны содержат одно и то же количество шаров, несколько черных и несколько белых каждая. Из них извлекаются n ( n ≥ 3) шаров с возвращением. Найти число n и содержимое обеих урн, если вероятность того, что все белые шары извлечены из первой урны, равна вероятности того, что из второй извлечены либо все белые, либо все черные шары.

Свяжем с каждым натуральным числом от 1 до N число его простых делителей, сосчитанное с учетом их кратностей (так у числа 12 три простых делителя: две 2 и одна 3). Вычислим относительную частоту таких делителей для различных значений N . Что можно сказать об этом распределении при N , стремящемся к бесконечности? Возможно, что читателю пригодится тот факт, что при больших N число простых чисел, не превосходящих N , приближенно равно N /log N . Число 1 обычно не считается простым делителем, но нам будет удобно предположить, что 1 есть простой делитель числа 1, но не является простым делителем никакого другого числа.

Рассмотрим сначала численный пример. Пусть в ящике 5 красных и 2 черных носка; вероятность того, что первый вынутый носок — красный, равна 5/(5 + 2). Если первый носок — красный, то условная вероятность того, что второй носок также красный, равна 4/(4 + 2), так как один красный носок уже вынут. Произведение этих двух чисел дает вероятность того, что оба носка красные: