Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Гауссово целое число — это число вида а + I*b, где а и b — любые целые рациональные числа. Таким образом они образуют решетку всех точек с целыми координатами на плоскости комплексных чисел. Пакет GaussInt содержит достаточно представительный набор функций для работы с этими числами:

> with(GaussInt);

Warning, the name Glgcd has been redefined

Нетрудно заметить, что в этот набор входят уже известные числовые функции, к именам которых добавлены буквы GI. Например, функция GIfactor(c) раскладывает гауссово число (в том числе комплексное) на простые множители, GIgcd(c1,c2) находит наибольший общий делитель гауссовых чисел с1 и с2 и т.д. В связи с этим в особых комментариях пакет не нуждается.

Фактически Maple — это система для манипулирования математическими выражениями. Выражение в системе Maple — объект, вполне соответствующий сути обычного математического выражения. Оно может содержать операторы, операнды и функции с параметрами.

Выражения в Maple могут оцениваться и изменяться в соответствии с заданными математическими законами и правилами преобразований. Например, функция упрощения выражений simplify способна упрощать многие математические выражения. Maple автоматически упрощает некоторые выражения, например, такие, как х+0, х-0, 1*х, х/1 и т.д. Но функцию можно применять и для выражений, записанных в качестве ее параметра в круглых скобках (файл expr):

> simplify(sin(х)^2+cos(х)^2) ;

> simplify((х^2-2*х*а+а^2)/(х-а));

Важно отметить, что один и тот же результат может быть получен от многих выражений. Поэтому получение исходного выражения по упрощенному возможно далеко не всегда, а чаще всего просто вообще невозможно.

Для выполнения любых математических операций необходимо обеспечить ввод в систему исходных данных — в общем случае математических выражений. Для ввода их и текстовых комментариев служат два соответствующих типа строк ввода. Переключение типа текущей строки ввода осуществляется клавишей F5. Строка ввода математических выражений имеет отличительный символ >, а строка ввода текстов такого признака не имеет.

В строке ввода может располагаться несколько выражений. Фиксаторами (указанием, что выражение окончено) их могут быть символы ; (точка с запятой) и : (двоеточие). Символ «;» фиксирует выражение и задает вывод результатов его вычисления. А символ «:» фиксирует выражение и блокирует вывод результатов его вычисления. Фиксаторы выполняют также функцию разделителей выражений, если в одной строке их несколько.

Ввод выражения оканчивается нажатием клавиши Enter. При этом маркер ввода (жирная мигающая вертикальная черта) может быть в любой позиции строки. Если надо перенести ввод на новую строку, следует нажимать клавиши Shift и Enter совместно. С помощью одного, двух или трех знаков % (в реализациях до Maple V R5 это был знак прямых кавычек ") можно вызывать первое, второе или третье выражение с конца сессии (файл expr):

> а:b:с:

> %;

> а:b:с:

> %%;

> a:b:c:

> %%%;

> 2+3:

> %;

> %%+5;

Особая роль при вводе выражений принадлежит знакам прямого апострофа (одиночного ' или двойного "). Заключенное в такие знаки выражение освобождается от одной пары (закрывающего и открывающего знаков '):

> ''factor(а^2+2*а*b^2+b^2)'';

> %;

> factor(а^2+2*а*b+b^2);

Некоторые другие возможности обрамления выражений апострофами мы рассмотрим позже. Наиболее важная из них — временная отмена выполненного ранее присваивания переменным конкретных значений.

Для завершения работы с текущим документом достаточно исполнить команду quit, done или stop, набранную в строке ввода (со знаком ; в конце).

Встречая выражение, Maple оценивает его, то есть устанавливает возможность его вычисления и, если возможно, вычисляет его. Если выражение — скалярная переменная, то ее значение будет выведено в ячейке вывода. Для переменных более сложных типов выводится не их значение, а просто повторяется имя переменной. Просто повторяются также имена неопределенных переменных.

Для оценивания выражений различного типа существует группа функций, основные из которых перечислены ниже:

• eval(array) — возвращает вычисленное содержимое массива array;

• evalf(expr, n) — вычисляет expr и возвращает вычисленное значение в форме числа с плавающей точкой, имеющего n цифр после десятичной точки;

• evalhf(expr) — вычисляет expr и возвращает вычисленное значение с точностью, присущей оборудованию данного компьютера;

• evalf(int(f, x=a..b)) — оценивает и возвращает значение определенного интеграла int(f,x=a..b);

• evalf(Int(f, x=a..b)) — оценивает и возвращает значение определенного интеграла, заданного инертной функцией Int(f,x=a..b);

• evalf(Int(f, x=a..b, digits, flag)) — аналогично предыдущему, но возвращает значение интеграла с заданным параметром digits числом цифр после десятичной точки и со спецификацией метода вычислений flag;

• evalm(mexpr) — вычисляет значение матричного выражения mexpr и возвращает его;

• evalb(bexpr) — вычисляет и возвращает значения логических условий;

• evalc(cexpr) — вычисляет значение комплексного выражения;

• evalr(expr, ampl) — оценивает и возвращает значения интервальных выражений (функция должна вызываться из библиотеки);

• shake(expr, ampl) — вычисляет интервальное выражение.

Для функции evalf параметр n является необязательным, при его отсутствии полагается n=10, то есть вещественные числа по умолчанию выводятся с мантиссой, имеющей десять цифр после десятичной запятой.

В выражении expr могут использоваться константы, например, Pi, ехр(1), и функции, такие как ехр, ln, arctan, cosh, GAMMA и erf. В матричном выражении mexpr для функции evalm могут использоваться операнды в виде матриц и матричные операторы &*, +, - и ^. В комплексных выражениях cexpr наряду с комплексными операндами вида (а+I*b) могут использоваться многие обычные математические функции:

Sin cos tan csc sec cot

Sinh cosh tanh csch sech coth

Arcsin arccos arctan arccsc arcsec arccot

Arcsinh arccosh arctanh arccsch arcsech arccoth

Exp ln sqrt ^ abs conjugate

Polar argument signum csgn Re Im

Ei LambertW dilog surd

Примеры применения функций оценивания даны ниже (файл eval):