Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

* * *

ЧЕМУ РАВНА РАБОТА, КОГДА МЫ ТЯНЕМ ИЛИ ТОЛКАЕМ ГРУЗ?

Вычисление работы, которую мы совершаем, когда тянем груз по земле, — еще один пример, когда используется скалярное произведение векторов. Согласно законам классической механики, работа определяется как скалярное произведение действующей на предмет силы F ->и перемещения D ->. Иными словами, если векторы F ->и D ->расположены под углом друг к другу, работа Абудет равна | F|·| D|·cos α. Обратите внимание, что при неизменной силе F ->работа будет изменяться в зависимости от угла между векторами. В самом деле, если векторы F ->и D ->имеют одинаковое направление, угол между ними равен 0, и работа будет максимальной, так как косинус 0 равен 1. Нетрудно видеть, что при α> 0° работа будет меньше максимума.

* * *

Обучение. Пример с распознаванием звуков

С начала XX века благодаря работам Сантьяго Рамон-и-Кахаля нейробиологи знают, что обучение с точки зрения биологии заключается в видоизменении синапсов. Обучение животного или человека можно смоделировать, изменив одно или несколько значений связей, представленных вектором-строкой а. В результате этих изменений, то есть в результате обучения, меняется значение или состояние выходного нейрона, а следовательно, реакция субъекта на некоторый стимул.

Допустим, что свойства некоторого повторяющегося звука представлены следующим вектором:

Единицы обозначают присутствие определенных характеристик звука, нули — отсутствие. Допустим, что первая характеристика обозначает громкость звука: если громкость превышает 30 децибел, эта характеристика равна 1, в противном случае — 0. Громкость в 30 децибел соответствует шуму на полупустой улице. В качестве примера звука, громкость которого меньше этого значения, приведем шелест страниц книги. Вторая характеристика описывает частоту звука: она равна 1, если частота звука заключена в интервале 100—5000 герц (именно в этом интервале лежат частоты всех звуков или шумов, доставляющих неудобство), в противном случае — 0. Третья характеристика, которую описывает вектор, — это мощность звука. Ее значение равно 1, если мощность звука превышает 1 ватт (это сопоставимо с пневматическим молотом или реактивным самолетом), и 0, если мощность звука меньше 1 ватта (источником такого звука может быть автомобиль, пианино и т. д.). Теперь рассмотрим связи между тремя входными нейронами (их функция заключается в том, чтобы считывать вектор с данными о звуке, воспринимаемом органами слуха) и выходными:

Если мы вычислим скалярное произведение этих двух векторов, то увидим, что состояние выходного нейрона равно 1,0, так как 0,8·1 + 1·0 + 1·0,2.

Предположим, что мы улучшили нейрон выходного слоя, чтобы сделать модель более реалистичной. Будем считать, что нейрон реагирует активно, если его выходное значение превышает определенную пороговую величину, выбранную произвольным образом. Обозначим эту пороговую величину через 0 и примем ее значение равным 0,6. Если скалярное произведение больше либо равно 0, нейрон станет активным (обозначим это состояние через 1). Если скалярное произведение меньше 0, нейрон останется в состоянии покоя (обозначим это состояние через 0). В нашем примере скалярное произведение равно 1, что превышает пороговое значение 0,6. Следовательно, нейрон возбужден и принимает состояние 1.

Пример нейронной сети до обучения.

Но что произойдет, если человек будет сталкиваться с разными звуками? Что происходит, когда человек или животное обучается? В этом случае значения связей меняются. Допустим, в результате обучения значение одной из связей изменилось:

Это означает, что важность этой связи снизилась с 0,8 до 0,3 и громкость звука в децибелах стала менее важной. Если вычислить скалярное произведение, то есть простимулировать нейронную сеть тем же стимулом, то после обучения состояние выходного нейрона будет равно 0,3 — нетрудно видеть, что 0,3·1 + 1·0 + 1·0,2. Если теперь мы сравним состояние эфферентного нейрона с пороговым значением 0, равным 0,6, то увидим, что нейрон находится в состоянии покоя, то есть 0.

Пример нейронной сети после обучения.

Обратите внимание, что обучение можно интерпретировать как поворот вектора-строки связей а -> относительно Ь -> . Чем больше проекция вектора связей а -> на вектор стимула Ь -> , тем сильнее реакция выходного нейрона.

Реакция нейрона максимальна, когда вектор связей имеет то же направление, что и стимул. Что произойдет, если эти векторы будут перпендикулярны? Реакция выходного нейрона будет равна 0, так как cos 90° = 0.

Таким образом, мы смоделировали обучение — один из самых удивительных процессов, протекающих в мозгу человека и животных, и выразили биологическое значение этого процесса с помощью операции над векторами. Математическая модель обучения была представлена Мак-Каллоком и Питтсом в 1946 году. Впоследствии она стала основой для моделирования различных аспектов работы мозга с использованием элементарных нейронных сетей.

Векторное, или внешнее, произведение

Еще одной операцией умножения векторов является векторное произведение, которое также называется внешним произведением.

Объясним вычисление векторного произведения на примере тех же векторов, для которых мы рассчитывали скалярное произведение.

Даны вектор а -> и вектор Ь -> . Их векторное произведение равно:

После необходимых действий результирующий вектор будет равен:

Обратите внимание, что мы обозначаем векторное произведение знаком X, чтобы отличить его от скалярного произведения. Более того, если скалярное произведение представляет собой число, то векторное произведение — это вектор. Еще одно различие заключается в том, что скалярное произведение а ->t · Ь -> обозначает проекцию вектор-строки а -> на вектор-столбец Ь -> , а векторное произведение а -> х Ь ->t представляет собой вектор (обозначим его c -> ), перпендикулярный плоскости, определяемой двумя исходными векторами.