Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

Согласно гипотезе Геи, Земля — это кибернетическая система планетарного масштаба, или суперорганизм.

* * *

Наконец, открытым остается вопрос о том, существует ли глобальное изменение климата. Прежде чем дать ответ на него, следует пояснить, что имеется в виду.

С точки зрения математики глобальное изменение климата означает изменение формы и положения аттрактора климата. Это изменение может быть вызвано неподконтрольными нам силами природы, действиями человека или сочетанием разных факторов. Допустим, что изменение климата произошло. Является ли оно значимым или же это всего лишь небольшое колебание, вызванное одной из особенностей аттрактора? Вероятно, вскоре мы узнаем ответ на этот вопрос. Изменения климата также могут быть вызваны действиями живых существ — вспомним о гипотезе Геи, предложенной Джеймсом Лавлоком в 1980-е годы. Согласно ей, живые организмы отвечают за поддержание земной атмосферы. На основе гипотезы Лавлока была создана упрощенная математическая модель под названием «Маргаритковый мир», о которой мы расскажем далее.

«Маргаритковый мир» (англ. Daisyworld ) — это математическая модель, предложенная Эндрю Уотсоном и Джеймсом Лавлоком в 1983 году. Подобно тому, как уравнения Лоренца представляют собой упрощенную модель климата, модель Уотсона и Лавлока представляет упрощенный мир, населяемый исключительно маргаритками белого и черного цвета. Целью этой модели было объяснить, как живые организмы способны менять атмосферу, в частности температуру воздуха на планете.

Джеймс Лавлок, автор гипотезы Геи. 1993 год.

В модели предполагается существование Солнца с характеристиками, схожими с нашим Солнцем, и, как следствие, присутствие солнечного света. В модели также учитывается альбедо, то есть доля солнечного света, отражаемого маргаритками (черными или белыми), а также земной поверхностью, на которой не растут маргаритки. Если выбрать в качестве базового значения альбедо земной поверхности, не заселенной маргаритками, то альбедо белых маргариток будет выше базового значения, а их температура — ниже, чем температура земной поверхности. Черные маргаритки, напротив, будут отражать меньше света, чем незаселенная поверхность, в результате их температура будет выше. В модели Уотсона и Лавлока энергетический баланс планеты рассчитывается с учетом того, что на части суши произрастают белые маргаритки, на части — черные, а часть суши остается незаселенной. Кроме того, в модели рассматривается показатель снижения численности маргариток, а также математическая функция температуры. Модель содержит два дифференциальных уравнения, позволяющих смоделировать рост числа черных и белых маргариток на воображаемой планете:

Эти уравнения описывают скорость, с которой численность маргариток возрастает или убывает. Согласно первому уравнению, скорость, с которой меняется число белых маргариток х , зависит от их численности в момент времени t , коэффициента роста β( Т x ), а также от доли земной поверхности, где не растут маргаритки ( S ), и показателя снижения численности γ . Обратите внимание, что рост числа белых маргариток β( Т x ), в свою очередь, зависит от температуры Т х участка земной поверхности, заселенной маргаритками.

Второе уравнение описывает динамику численности черных маргариток. В этом случае у — число черных маргариток в момент времени t , β( Т y ) — коэффициент роста, который зависит от локальной температуры Т у на участке суши, где произрастают черные маргаритки, S — часть суши, где не растут маргаритки, у — показатель снижения численности. Будем считать, что значение у для обоих видов маргариток одинаково.

Также будем считать, что поведение коэффициента роста для белых и черных маргариток одинаково и описывается параболой. В соответствии с динамикой этого коэффициента предполагается, что температура, оптимальная для роста обоих видов маргариток, равна 22,5 °C. Таким образом, при оптимальной температуре коэффициенты роста белых и черных маргариток, β( Т x ) и β( Т y ), максимальны и равны единице. Так как коэффициенты роста описываются параболой, их значение будет уменьшаться до нуля по мере того, как температура будет приближаться к 5 °C или 40 °C (пороговые значения в модели выбраны произвольно). Следовательно, коэффициенты роста для двух видов маргариток варьируются от 0 до 1 и описаны похожими выражениями, которые приведены ниже:

β( Т x ) = 1–0,003265(22,5 — T x ) 2,

β( Т y ) = 1–0,003265(22,5 — T y ) 2.

Важно заметить, что в этих выражениях учитывается локальная температура. При температуре от 5 °C до 40 °C число маргариток будет возрастать. Так как белые маргаритки отражают больше солнечного света, область, в которой они произрастают, начнет охлаждаться. Черные маргаритки, напротив, поглощают солнечный свет, и область, в которой они произрастают, будет нагреваться. В результате температуру в областях, где произрастают белые маргаритки Т х и черные маргаритки Т у , можно выразить так:

T x = Q ( A — A x ) + T m ,

T y = Q ( A — A y ) + T m

где Q — коэффициент поглощения тепла (его значение в модели равно 20), Т m — средняя температура на планете, А — альбедо планеты, А х — альбедо, вызванное белыми маргаритками, А у — альбедо, вызванное черными маргаритками.

Средняя температура на планете Т m рассчитывается согласно закону Стефана — Больцмана. Этот закон гласит, что энергия, излучаемая телом, пропорциональна температуре этого объекта, возведенной в четвертую степень. Применив этот закон, получим следующее выражение:

где σ = 5669·10-8 Вт/м 2·К 4— постоянная Стефана — Больцмана, Е — солнечная энергия, получаемая планетой. Обратите внимание, что если бы мы захотели смоделировать безжизненную планету, то есть планету, не населенную маргаритками, то значение альбедо было бы равным А = 0,5. Альбедо планеты А зависит от того, в какой степени поверхность планеты покрыта белыми и черными маргаритками. Это означает, что альбедо планеты А определяется следующим выражением: