Владимир Живетин - Управление рисками рыночных систем (математическое моделирование)

Окончательно,

Из теории вероятностей известно, что

где F β( x ) – функция распределения случайной величины β; R β( x ) – дополнительная функция распределения случайной величины β. Тогда формулу (1.4) можно переписать в следующем виде:

Перейдем к вычислению вероятности P 3:

P 3= P [ A γ∩ B α] + P ( C α∩ A γ) =

= P [( ≤ γ ≤ ) ∩ {α < x н ) (α > x в )}] =

= P [{( ≤ γ ≤ ) ∩ (α < x н )} {( ≤ γ ≤ ) ∩ (α > x в )}] =

= P [{( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α < x н )} {( – α ≤ β ≤ – α) ∩

∩ (α > x в )}] = P [( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α < x н )] +

+ P [( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α > x в )].

Таким образом,

Если параметры подчинены односторонним ограничениям, то, согласно формулам (1.5) и (1.6), вероятности событий ( A α∩ B γ) и ( A γ∩ B α) вычисляются следующим образом. В случае одностороннего ограничения сверху полагаем x н → –∞, → –∞, тогда F β(–∞) = 0:

Если x в , → ∞, то в случае одностороннего ограничения снизу

Аналогично, если x н , → ∞,

Если x в , →∞, то

Часто при практических расчетах удобно использовать не φ α( x ), а . В этом случае для индикатора, подлежащего ограничению снизу, получаем:

где W ( t, Δ x , δ x ) – совместная плотность распределения случайных процессов Δ x , δ x в момент времени t ; x n = x к доп .

Вид подынтегральной функции выражений (1.8), (1.9) либо (1.10), (1.11) и основные факторы, подлежащие учету при ее формировании, определяются объектами или подсистемами рыночной системы и их режимом работы, а также множеством других параметров и факторов. При этом погрешность δ x , как правило, не оказывает влияния на величину отклонения от номинального режима Δ x . Это обстоятельство есть допущение, которое каждый раз необходимо проверять.

С учетом сказанного выше, при практических расчетах вероятностей P i зависимостью между погрешностями измерения δ x и величинами отклонения параметров Δ x от номинального режима можно пренебречь. В результате (см. рис. 1.37):

где Δ = х доп – х н ; Δ ′ = х n – х н – Δ х.

На рис. 1.37 представлена геометрическая интерпретация событий, соответствующих вероятностям P 2и P 3, определяемым по формулам (1.7) и (1.9) (ограничение сверху).

Рис. 1.37

Из последних соотношений следует, что вероятности Р 3и Р 2зависят от плотностей распределения W 1(Δ x ) отклонений x от номинальных значений x н , пороговых x n и допустимых x до п значений параметров, плотности распределения суммарной погрешности W 2(δ x ). При этом Р 3представляет вероятность попадания точки (Δ x , δ x ) в область , ограниченную прямыми Δ x = а = x доп – x н и δ x = x n – x н – Δ x (рис. 1.38). Величина δ x изменяется от –∞ до b = x n – x н . Вероятность попадания точки (Δ x , δ x ) в область представляет собой Р 2.

Рис. 1.38

Случай двустороннего ограничения параметров представлен на рис. 1.39. При этом Р 3представляет вероятность попадания точки с координатами (Δ x , δ x ) в области и одновременно, а для Р 2в , – одновременно (рис. 1.39).