Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Мы уже проделывали такой фокус, когда заменяли k на mω 2 0, чтобы упростить вычисления. Итак, наше уравнение имеет вид

(23.6)

или, если положить с=mγ и k =mω 2 0и поделить обе части на m,

(23.6а)

Это самая удобная форма уравнения. Если γ очень мало, то мало и трение, и, наоборот, большие значения γ соответствуют громадному трению. Как решать это новое линейное уравнение? Предположим, что внешняя сила равна F 0cos(ωt+Δ); можно было бы подставить это выражение в (23.6а) и попытаться решить полученное уравнение, но мы применим наш новый метод. Представим F как действительную часть ^ F exp(iωt), а x — как действительную часть ^ x exp(iωt) и подставим эти комплексные числа в (23.6а). Собственно говоря, и подставлять-то нечего; внимательно посмотрев на (23.6а), вы тут же скажете, что оно превратится в

(23.7)

[Если бы мы попытались решить (23.6а) старым прямолинейным способом, то оценили бы по достоинству магический «комплексный» метод.] Поделив обе части уравнения на exp(iωt), найдем отклик осциллятора ^ x на силу ^ F

(23.8)

Итак, отклик ^x равен силе ^ F , умноженной на некоторый множитель. Этот множитель не имеет ни названия, ни какой-то своей собственной буквы, и мы будем обозначать его буквой R :

тогда

(23.9)

Этот множитель можно записать либо как p + iq , либо как р exp(iθ). Запишем его в виде р exp(iθ) и посмотрим, к чему это приведет. Внешняя сила — это действительная часть числа F 0exp(iΔ)еexp(iωt), она равна F 0 cos (ω t +Δ). Уравнение (23.9) говорит нам, что отклик ^ x равен ^ FR ; мы условились писать R в виде R=ρexp(iθ); следовательно,

Вспомним (об этом уже говорилось), что физическое значение х , равное действительной части комплексного числа ^ хexp ( i ω t ), равно действительной части ρF 0exp[i(θ+Δ)]exp(iωt). Но ρ и F 0— действительны, а действительная часть exp[i(θ+Δ+ωt)] — это просто cos(ωt+Δ+θ). Таким образом,

(23.10)

Это значит, что амплитуда отклика равна амплитуде силы F , умноженной на коэффициент усиления ρ; мы нашли «размах» колебаний. Но это еще не все: видно, что х колеблется не в такт с силой; фаза силы равна Δ, а у x; она сдвинута на дополнительную величину θ. Следовательно, ρ и θ — это величина и фазовый сдвиг отклика.

Найдем теперь значение ρ. Квадрат модуля любого комплексного числа равен произведению этого числа на комплексно сопряженное, т. е.

(23.11)

Можно найти и фазовый угол θ

значит,

(23.12)

Знак минус возник оттого, что tg(-θ)=-tgθ. Угол θ отрицателен при всех значениях ω, т. е. смещение х отстает по фазе от силы F.

На фиг. 23.2 показано, как изменяется ρ 2при изменении частоты (ρ 2для физика интереснее, чем ρ, потому что ρ 2пропорционально квадрату амплитуды, а значит, и той энергии , которую передает осциллятору внешняя сила).

Фиг. 23.2. График зависимости ρ 2 от ω.

Очевидно, что если γ мало, то основной член в (23.11) — это 1/(ω 2 0-ω 2) 2, и отклик стремится к бесконечности, если ω приближается к ω 0. Но эта «бесконечность» — не настоящая бесконечность, потому что даже если ω=ω 0, то все еще остается слагаемое 1/γ 2ω 2. Зависимость сдвига фазы от частоты изображена на фиг. 23.3.

Фиг. 23.3. График зависимости θ от ω.

Иногда приходится иметь дело с формулой, немного отличающейся от (23.8); она тоже называется «резонансной» и, несмотря на некоторое отличие от (23.8), описывает те же самые явления. Дело в том, что если значение γ очень мало, то наиболее интересная область резонансной кривой лежит около частоты ω=ω 0, а здесь при малых γ формулу (23.8) с большой степенью точности можно заменить приближенной формулой. Поскольку ω 2 0-ω 2=(ω 0-ω)(ω 0+ω), то для ω, очень близких к ω 0, разность квадратов почти равна 2ω 0(ω 0-ω), а γω можно заменить на γω 0. Значит, ω 2 0-ω 2+γω≈2ω 0(ω 0-ω+iγ/2) и

Легко найти и ρ 2:

А теперь решите сами такую задачу: с увеличением частоты значение ρ 2сначала растет, достигает при ω 0максимума, а потом снова убывает. На каком расстоянии от ω 0расположены частоты, которым соответствуют значения ρ 2, вдвое меньшие максимального? Покажите, что при очень малом γ эти точки отстоят друг от друга на расстояние Δω=γ. Это значит, что резонанс делается более острым по мере того, как влияние трения становится все слабее и слабее.

Другой мерой ширины резонанса может служить «добротность» q=ω 0/γ (чем уже резонанс, тем больше Q ); если Q=1000, то по шкале частот ширина резонансной кривой равна всего 0,001. Резонансной кривой на фиг. 23.2 соответствует Q =5.

Явление резонанса важно потому, что оно проявляется довольно часто; описанию некоторых видов этих проявлений мы посвятим остаток главы.

Простейшие и самые широкие технические применения резонанс нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, из которых собираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элементами цепи , и бывают они трех типов, хотя в каждый элемент одного типа всегда примешано чуточку элементов других типов. Прежде чем подробно описать эти элементы, заметим, что наше представление о механическом осцилляторе как о массе, подвешенной к концу пружины, всего лишь приближение. В «массе» сосредоточена вовсе не вся масса системы: пружина тоже обладает какой-то массой, пружина тоже инерционна. Точно так же «пружина» не состоит из одной пружины, масса тоже немного упруга, а не абсолютно тверда, как это может показаться. Подпрыгивая вверх и вниз, она слегка изгибается под толчками пружины. Так же обстоит дело и в электричестве. Расположить все предметы по «элементам цепи» с чистыми, идеальными характеристиками можно только приближенно. Так как у нас нет времени обсуждать пределы таких приближений, мы просто предположим, что они допустимы.