Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь получили, что даламбертиан Еравен двум членам, содержащим поляризацию Р.

Однако Рзависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е. Рвсегда будет иметь то же направление, что и Е. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси z. Электрическое поле при этом будет изменяться как е i( ω t - kz ). Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х , т. е. что электрическое поле имеет только x-компоненту. Все это записывается следующим образом:

(32.21)

Вы знаете, что любая функция от ( z - vt ) представляет волну, бегущую со скоростью v . Показатель экспоненты в выражении (32.21) можно переписать в виде

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая скорость которой равна

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления n определялся нами из формулы

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

Таким образом, показатель n можно определить, если мы найдем ту величину k, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением

(32.22)

В изотропном материале поляризация будет иметь только x-компоненту; кроме того, Рне изменяется с изменением координаты х , поэтому ∇· P=0 и мы сразу же избавляемся от первого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Р х будет изменяться как е i ω t и ∂ 2 P x /∂ t 2=-ω 2P x. Лапласиан же в уравнении (32.20) превращается просто в ∂ 2 E x /∂ z 2=- k 2 Е x , так что в результате получаем

(32.23)

Теперь на минуту предположим, что раз Еизменяется синусоидально, то Рможно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположению и обсудим его.) Таким образом, пишем

При этом Е х выпадает из уравнения (32.23), и мы находим

(32.24)

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом k , задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравнениям поля. Использование же выражения (32.22) для показателя n дает

(32.25)

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для показателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли уравнение (31.19), которое тогда имело вид

(32.26)

Формула (32.25) после подстановки α из (32.6) дает

(32.27)

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член iγω, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилляторах. Во-вторых, слева вместо n теперь стоит n 2и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1/ 2. Но заметьте, что если значение N достаточно мало, так что n близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что n 2равен единице плюс некое малое число, т. е. n 2=1+ε. При этом условии мы можем написать, что n=√(1+ε)≈1+ε/2, и оба выражения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш новый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поляризованное поле, действующее на каждый из атомов, — это поле Е х . Однако такое предположение неверно , поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Е х . Аналогичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом, представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным ) увеличивается по сравнению со средним полем Ена величину Р/3ε 0. (Не забудьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае кубического кристалла.)

Те же рассуждения верны и для электрического поля в волне, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении

(32.28)

Именно это локальное поле следует использовать вместо Ев (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следующим образом:

(32.29)

Подставляя теперь Е локиз формулы (32.28), находим

или

(32.30)

Иными словами, Рдля плотного материала все еще пропорциональна Е(для синусоидального поля). Однако константа пропорциональности будет уже ε 0 N α/[1-( N /3)], а не ε 0 N α, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):