Сергей Гашков - Примени математику

19.108. Найти центрДана окружность, но не отмечен ее центр. Как найти этот центр с помощью одного лишь циркуля?

19.109. Через недоступную вершинуДве данные прямые, пересекаясь, образуют угол, вершина которого находится за пределами листа бумаги. С помощью одной линейки через эту вершину и данную точку проведите прямую.

19.110. Короткой линейкойВы хотите провести прямую через две данные точки, однако ваша линейка слишком коротка и не достает до двух этих точек одновременно. Нельзя ли обойтись только имеющейся линейкой и все же провести указанную прямую?

19.111. Через кляксуНа бумаге нарисован отрезок прямой, которую вы хотите продолжить в определенную сторону с помощью линейки. Однако на вашем пути имеется клякса, не позволяющая непосредственно провести прямую, не испачкав при этом линейку (рис. 145). Предложите способ, как, пользуясь одной линейкой, можно "обогнуть" кляксу и все же построить нужный участок прямой.

Рис. 145

19.1.Лучше отсчитать 25 конвертов, тогда в пачке их останется 75.

19.2.Можно отмерить небольшую стопку листов, скажем высотой 1 см , и сосчитать количество листов в ней, а затем измерить высоту данной стопки и найти число листов в ней из соответствующей пропорции.

19.3.Перед просмотром анкет на листе бумаги заводят по одной колонке для регистрации каждого отдельного вида данных, подлежащих сбору. Затем при считывании этих данных с анкет в соответствующие колонки вносятся специальные значки (палочки, точки и т. п.), а по окончании этой работы производится подсчет количества значков в каждой колонке. Один из наиболее удобных способов регистрации состоит в группировании вносимых значков по 10 штук в виде фигуры, изображенной на рис. 146.

Рис. 146

19.4.Достаточно сосчитать количество гвоздей, скажем, в 100 г или в 1 кг , а затем взвесить ящик с гвоздями (разумеется, вес пустого ящика нужно вычесть) и произвести соответствующие выкладки.

19.5.Вы были в командировке 31 - 23 = 8 дней.

19.6.Из первого пакета во второй нужно переложить 5 конфет, тогда в первом пакете станет на 5 конфет меньше, чем было, а во втором - на 5 конфет больше, чем было.

19.7.Выгоднее пилить более короткие бревна, поскольку отношение числа распилов к числу получаемых кусков для короткого бревна меньше, чем для длинного. Так, для получения 12 кусков из трехметровых беревен нужно сделать 8 распилов, а из четырехметровых - 9 распилов.

19.8.Для подъема на 16-й этаж нужно преодолеть 15 расстояний между этажами, что в 5 раз больше количества таких же расстояний для подъема на 4-й этаж.

19.9.Квартира 165 находится в третьем подъезде на 10-м этаже, так как 165 = 41*4 + 1 = 2*16*4 + 9*4 + 1.

19.10.Две половины порции бульона с пирожками стоят 46 коп. Они составляют полную порцию и еще пирожок, значит, пирожок стоит 46 - 31 = 15 коп.

19.11.Можно выпить 8 бутылок лимонада, при этом останется 20 коп.

19.12.Достаточно расклепать 2 звена, составляющих один обрывок, и с их помощью соединить друг с другом оставшиеся три обрывка.

19.13.Каждый из инженеров может врезать в сейф свой личный замок, ключ от которого есть только у него. Тогда без него открыть сейф будет невозможно.

19.14.На рис. 147 изображен возможный способ использования трех замков с соблюдением условия задачи.

Рис. 147

19.15.Попробовав не более 9 ключей, вы установите, который из 10 ключей подходит к первой двери. Затем, попробовав не более 8 ключей, вы подберете ключ ко второй двери и т. д. Всего вам понадобится не более 9 + 8 + ... + 1 = 45 попыток.

19.16.Достаточно взять 3 носка, так как 2 из них обязательно будут одинакового цвета.

19.17.Для того чтобы наверняка обеспечить пару одноцветных перчаток, нужно взять минимум 11 перчаток: 6 из них обязательно будут одинакового цвета, а среди них, в свою очередь, 2 обязательно придутся на разные руки.

19.18.Можно надеть сразу обе пары перчаток и работать с первым реактивом, затем снять одну пару перчаток и работать со вторым реактивом, наконец, снова надеть снятую пару, вывернув ее наизнанку, и работать с последним реактивом. (В решении, конечно, содержится элемент шутки, так как вряд ли можно снимать, надевать и вывертывать "грязные" перчатки, не испачкав их "чистую" сторону.)

19.19.Достаточно отложить на веревке 3 одинаковых расстояния, потом еще 4 и еще 5 таких расстояний, получив в итоге на веревке 4 отметины. Если теперь соединить начальную и конечную отметины, а оставшиеся 2 отметины оттянуть так, чтобы образовался треугольник, то этот треугольник обязательно будет прямоугольным.

19.20.Один из возможных способов завязывания узла показан на рис. 148.

Рис. 148

19.21.Один из возможных способов прострочить первую эмблему показан на рис. 149. Что же касается второй эмблемы, то ее прострочить с соблюдением условий задачи невозможно.

Рис. 149

19.22.Каркас куба содержит 12 ребер, но, чтобы обойти весь этот каркас не прерывая движения, необходимо дополнительно пройти как минимум по трем ребрам. Поэтому для изготовления каркаса указанного куба меньше 1,5 м проволоки будет недостаточно.

19.23.Достаточно разрезать 3 яблока пополам и 2 яблока на 3 части каждое. Получится 6 половинок и 6 третей, которые можно поровну распределить на 6 человек.

19.24.Двумя прямыми разрезами квадратный или круглый торт делим на четыре равные части, а третьим разрезом отсекаем от каких-то двух противоположных частей по одной трети (на рис. 150 цифрами 1, 2, 3 соответственно обозначены части, предназначенные разным людям, если их трое).

Рис. 150

19.25.Любой торт, однородный по составу, можно разделить на восемь равных частей, если двумя вертикальными разрезами разделить его на 4 равные части, а затем горизонтальным разрезом разделить каждую часть пополам (рис. 151).