Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Когда D увеличивается до 3/2 (третий рисунок сверху), игра в географические загадки становится немого сложнее.

При дальнейшем увеличении D до значений, близких к 2 (нижний рисунок), сложность географических загадок возрастает весьма значительно (возможно, они просто становятся слишком специализированными: что это у вас тут? Миннесота? Финляндия?). В конце концов всякое сходство с реальностью пропадает.

Другие затравки дают точно такой же результат. Согласно результатам аналогичных тестов, основанных на более точных графических построениях, наиболее реалистичным значением фрактальной размерности береговых линий следует признать D~1,2 .

Рис. 379. Первые известные примеры дробных броуновских островов (размерность D=2,3000 )

Присутствие здесь этой иллюстрации, несомненно, можно считать сентиментальным перегибом, поскольку она не несет в себе ничего такого, что не было бы лучше выражено на других иллюстрациях. В свое оправдание скажу лишь, что эти островные виды с изменяющимся уровнем моря были опубликованы в работе [384] и в эссе 1975 г., и я просто не могу на них спокойно смотреть. Они являются частью более обширной серии изображений дробных броуновских островов с различными значениями D и различными уровнями моря – насколько мне известно, прежде никто подобных изображений не создавал. (В 1976 г. мы сделали фильм об этом необычном острове, поднимающемся из моря; в 1981 г. фильм выглядит до смешного примитивно, однако он еще может стать антикварной редкостью.)

Я часто думаю, где же я мог в действительности видеть пейзаж, изображенный на нижнем рисунке: эти маленькие островки, рассыпанные, точно семена, у оконечности узкого и длинного полуострова.

Оригинальная картинка была сфотографирована с электронно-лучевой трубки, у которой были проблемы с резкостью, поэтому данные пришлось обрабатывать заново. Здесь (в противоположность рис. 370, 371 и С11 – С17) не требуется искусственно моделировать боковое освещение. Так получилось, что наш древний графический процесс создает у зрителя впечатление, что море у горизонта словно бы мерцает.

Читатель, несомненно, заметит, что по сравнению с более поздними ландшафтами размерность, заявленная для изображенных здесь поверхностей, на удивление высока. Причина заключается в том, что тогдашние графические методы были не способны показать мелкие детали, поэтому размерности ранних ландшафтов кажутся меньше, чем реальные значения D , задаваемые генерирующим эти ландшафты программам. Для компенсации мы выбирали бóльшие значения D , чем это было необходимо, исходя из данных наблюдений. Однако с улучшением качества графики этот сдвиг стал слишком заметным, т.е. не только ненужным, но и вредным. Сегодня необходимости в такой компенсации нет, и, задавая генерирующей программе значения размерности, соответствующие данным Ричардсона, мы получаем в высшей степени реалистичные ландшафты.

Ниже мы более подробно исследуем броуновскую модель рельефа, предложенную в предыдущей главе. Ее выводы касательно площадей островов представляются вполне приемлемыми; однако те, что относятся к озерам и чашам, никуда не годятся. Для исправления этого несоответствия предложим усовершенствованную модель.

Как указано в главе 13, изменчивость проективных площадей A океанических островов является очевидной характеристикой каждой карты, часто даже более выразительной, нежели очертания береговых линий. Мы отметили также, что Корчак [279] полагает распределение площадей A гиперболическим: Pr(A>a)=Fa −B . (теперь нам уже ничто не препятствует заменять Nr на Pr .) Наконец, мы показали, что это эмпирическое заключение верно в том случае, когда береговая линия самоподобна. Теперь мы можем добавить: тем более достаточно предположить, что самоподобен рельеф.

Нет никакого сомнения, что соотношение 2B=D применимо не только к неслучайным коховым побережьям, рассмотренным в главе 13, но и к дробным броуновским нуль – множествам. Однако доказательство этого факта остается на данный момент отчасти эвристическим. Распределение же, соответствующее дробному броуновскому рельефу с H=0,800 , и впрямь подходит очень близко к эмпирическим данным относительно всей Земли.

Размерность D c каждого отдельно взятого дробного броуновского острова пока не известна.

Утверждается, что площади озер также подчиняются гиперболическому распределению, то есть может возникнуть искушение оставить озера в покое, так как ничего нового они нам не поведают. При более зрелом размышлении, однако, можно заметить, что определения озер и океанических островов ни в коем случае не являются симметричными.

Специальный анализ, вкратце описываемый в этой главе, проясняет многие вопросы, связанные с двумя озерными суррогатами – «глухими долинами» и «чашами», и ставит нас перед фактом, что реки и деревья водоразделов в природе асимметричны, чего не скажешь о моих броуновских моделях. Отсюда следует еще один довод в пользу упомянутой усовершенствованной модели.

Однако распределение площадей озер все еще остается загадочным. Возможно, его гиперболичность проистекает из «устойчивости» гиперболического распределения к всевозможным неприятностям (см. [342] и главу 38). Например, произведение случайного гиперболического множимого на в основном произвольный множитель само является гиперболическим. Причины гиперболичности множимого, возможно, следует искать в том состоянии, в котором пребывала первобытная Земля, когда и рельеф, и все вокруг было гиперболическим. А произвольностью множителя мы, скорее всего, обязаны тысяче геологических и тектонических факторов, повлиявших на очертания береговых линий озер. Как бы то ни было, такое «объяснение», по сути дела, есть не что иное, как отговорка.

Это понятие симметрично понятию океанического острова и обозначает некоторую окруженную сушей область, расположенную ниже уровня моря. Мы будем называть такие области не требующим дополнительных объяснений составным термином «глухие долины». Некоторые из них заполнены водой (уровень которой, как правило, ниже уровня моря) – такие, например, как впадины Мертвого моря (уровень воды – 390,15 м.), Каспийского моря (- 28,04 м.) и озера Солтон – Си ( -71,63 м.). Другие глухие долины остаются сухими – такие, как Долина Смерти (уровень дна –85,95 м.) или Катарская впадина (-132,89 м.). Сюда же можно отнести и расположенную в южной части Шотландии низменность, по которой проходит граница между Шотландией и Англией.