Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Цель моей ранней модели скопления галактик состояла в демонстрации распределения масс со следующими характерными особенностями: а) масса M(R) , заключенная в сфере, центр которой совпадает с центром распределения, удовлетворяет соотношению M(R)∝R D , где D<2 ; б) распределение удовлетворяет условному космографическому принципу в его статистической форме.

Промежуточные остановки полета Рэлея.В качестве предварительного шага рассмотрим конструкцию, ни фрактальная, ни топологическая размерность которой не совпадает с размерностями скоплений галактик. Начиная с некоторой точки Π(0) в пространстве, ракета, выполняющая полет Рэлея, совершает прыжок в некотором изотропном случайном направлении. Длительность каждого прыжка составляет Δt=1 , а расстояние U до следующей остановки Π(1) представляет собой случайную гауссову величину, удовлетворяющую условию <[∏(1)−∏(0)] 2>=1 . Далее ракета прыгает в точку Π(2) - такую, что величины

U 1 =Π(1)−Π(0) и U 2 =Π(2)−Π(1)

представляет собой независимые и тождественно распределенные векторы. И так далее.

Если предположить, что движение ракеты не ограничено ни началом, ни концом, следует добавить и предыдущие остановки Π(−1), Π(−2), ... . Однако изменение направления течения времени никак не влияет на случайное блуждание, а следовательно, достаточно изобразить две независимые траектории с началом в точке Π(0) .

След нашей ракеты (включая и «инверсионный след», который она оставляет при прыжках) представляет собой случайное множество. Таким же случайным множеством является и совокупность точек промежуточных остановок, рассмотренная без учета порядка их посещения. Оба множества следуют совершенно одинаковому распределению при рассмотрении с любой из точек Π(t) . Согласно терминологии, введенной в главе 22, оба множества удовлетворяют условному космографическому принципу в его должной статистической форме.

Погрузка.Тождественно распределенные и статистически независимые массы приписываются случайным образом к каждой промежуточной остановке полета Рэлея, распространяя на массы условную стационарность.

Размерность D=2 .Широко известно, что расстояние, которое ракета Рэлея преодолевает за K прыжков, возрастает пропорционально √ K . Вследствие этого количество остановок, оказавшихся внутри сферы радиуса R с центром в точке Π(t) , выражается формулой M(R)∝R 2 . Показатель здесь находится в соответствии с тем, что размерность множества промежуточных остановок Π(t) составляет D=2 . Глобальная плотность, в частности, обращается в нуль.

Броуновское движение.Интерполируя полет Рэлея в непрерывном времени, получаем броуновский след, который (см. главу 25) представляет собой непрерывную кривую с размерностью D=2 . Таким образом, модель полета Рэлея является, в сущности, фрактальной кривой (D T =1, D=2) , удовлетворяющей условному (а отнюдь не усиленному) космографическому принципу. Последнее заключение вполне удовлетворительно, однако значения D T и D неприемлемы.

Обобщенная плотность.Если нагрузить броуновский след между точками Π(t 0 ) и Π(t) массой δ|t 0−t| , то массу M(R) можно представить как произведение времени, проведенного ракетой внутри сферы радиуса R , на равномерную обобщенную плотность δ .

Расширение Вселенной.В рамках стандартных дискуссий исходное распределение имеет равномерную плотность δ . По мере равномерного расширения Вселенной плотность δ уменьшается, однако распределение остается равномерным. С другой стороны, общепринятое состоит в том, что любое другое распределение при расширении изменяется. Равномерно нагруженный броуновский след конструктивно показывает, что это заключение неверно: плотность δ , конечно же, изменяется при расширении, однако остается определенной и равномерной.

Таким образом, в вопросе о возможном расширении Вселенной, промежуточные остановки Рэлея занимают промежуточную позицию. Это свойство остановок сохраняется и в том случае, когда размерность D уменьшается при замене полета Рэлея на полет Леви, который мы сейчас и рассмотрим.

Промежуточные остановки полета Леви. Нецелочисленные размерности D<2 .Моя модель распределения галактик, основанная на случайных блужданиях, способна реализовать любую желаемую фрактальную размерность D<2 с помощью пыли, т.е. множества, топологическая размерность которого равна нулю. Для достижения этой цели я использую случайное блуждание, в котором математическое ожидание 2(t)> бесконечно, поскольку величина U представляет собой гиперболическую случайную величину с внутренним пределом при u=1 . Так, при u≤1 вероятность Pr(U>u)=1 , а при u>1 вероятность Pr(U>u)∝u −D , где 0 .

Важнейшим следствием такого рассуждения можно считать соотношение M(R)∝R D , где R≫1 . Именно этого соотношения мы, собственно, и добивались. Оно допускает любое значение D , какое только могут предложить теория или результаты наблюдений.

Отступление об устойчивости по Леви.При t→∞ масса, переносимая за временной интервал t (должным образом масштабированный), сходится к случайной величине, не зависимой от t ; эта случайная величина была впервые исследована Полем Леви, и поэтому называть ее лучше всего «устойчивой по Леви» (см. главу 39). Отсюда, кстати, и термин «полет Леви», предложенный мною для обозначения процесса, лежащего в основе моей модели.

Поскольку 2>=∞ , стандартная центральная предельная теорема здесь не годится, вместо нее следует применять специальную центральную предельную теорему. Эта замена влечет за собой довольно значительные последствия. Стандартная теорема «универсальна» в том смысле, что предел зависит только от величин и 2> . Нестандартная теорема не является универсальной. Через показатель D распределение M(R) явным образом зависит от распределения прыжков.

В оставшейся части главы мы построим пыль, которая играет в отношении полета Леви ту же роль, какую броуновское движение играет в отношении полета Рэлея. Прямая интерполяция утомительно формальна, поскольку ей приходится придавать смысл распределению Pr(U>u)=u −D , применяемому вплоть до u=0 , где оно расходится. Непрямой же подход может оказаться не только простым, но и точным, если использовать процесс субординации. Этот процесс представляет собой отдельный интерес и открывает пути для многочисленных очевидных обобщений.