Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Следовательно, мы можем охарактеризовать наши субординатные подмножества кривых Коха и Пеано как фрактальные отображения фрактального подмножества моментов времени. Совершенно очевидно, что такое подмножество представляет собой канторову пыль; назовем его субординатором. Его размерность равна ln N/ ln N'= ln2 / ln4 =½ . Обобщая, получаем следующее не требующее дополнительных объяснений соотношение:

D субордината =D субординанда ×D субординатора .

Это также обобщает и то соотношение, которое характеризует движение Коши. При рассмотрении сечений и пересечений мы уже встречались с суммами размерностей. Теперь же оказывается, что в нашем замечательном «исчислении» смысл имеют не только суммы, но и произведения размерностей.

Разумеется, это правило имеет исключения, аналогичные тем, которые являются исключениями из правила о сложении коразмерностей при пересечении.

Линейная пыль Леви из главы 31 была первым субординатором у Бохнера, и с тех пор чистая математика использует ее в качестве субординатора настолько широко, что соответствующую лестницу Леви часто называют устойчивой субординаторной функцией. Для получения подобных субординаторных множеств применяется самоподобный субординанд – такой, как броуновское или дробное броуновское движение.

Заметим, что, хотя для броуновского движения характерна размерность 2, броуновское движение, ограниченное прямой, имеет размерность 1. Следовательно, правило из предыдущего раздела принимает несколько иной вид

D субордината = min {E, 2×D субординатора } .

В общем случае для дробного броуновского движения характерна размерность 1/H , однако

D субордината = min {E, D субординатора /H} .

Таким образом, размерность E пространства, которое может быть полностью заполнено этим субординатным множеством, не превышает целой части числа 1/H .

Броуновское движение в роли субординанда.Наиболее значительным субординандом является броуновский след. Броуновское отображение моментов времени, ограниченных линейной пылью Леви с размерностью D/2 , лежащей в интервале между 0 и 1, представляет собой пространственную пыль с произвольной размерностью D , лежащей в интервале между 0 и 2. Представляется уместным назвать такое отображение пространственной пылью Леви.

Учитывая, что и паузы пыли – субординатора, и приращения субординанда статистически независимы, можно предположить, что приращения процесса субординации также статистически независимы. А учитывая, что длины пауз субординатора удовлетворяют соотношению Pr(W>ω)=ω −D/2 и что за время паузы продолжительностью ω броуновское движение пройдет расстояние порядка u=√ω , можно предположить, что паузы пространственной пыли, по всей видимости, удовлетворяют соотношению Pr(U>u)=Pr(W>u 2)=u −D . Можно показать, что так оно в самом деле и есть.

Из формулы Pr(U>u)=u −D мы видим, что субординантная пыль реализует процесс, упомянутый в начале этой главы.

Размерности.Сама пыль имеет размерность D . Если отображения концевых точек каждой линейной паузы соединить интервалами, то получится след Леви; его размерность равна max (1,D) (такую же размерность мы получили, исследуя деревья в главе 16).

Корреляции.След Леви способен линейно упорядочивать порождаемые им галактики; при этом каждая галактика взаимодействует только со своими непосредственными соседями. Каждая же пара соседей ведет себя независимо от других пар. В этом смысле полет Леви сродни ничем не оправданной замене нерешаемой задачи N тел на вполне удобоваримую совокупность многих задач двух тел. Результат мог бы оказаться донельзя нереалистичным, однако не оказался. В работе [383] (полное описание которой можно также найти в монографии П. Дж. Э. Пиблса [467], с. 243 – 249) я показал, что полет Леви приводит к двух- и трехточечным корреляциям на небесной сфере, тождественным тем, которые были получены Пиблсом и Гротом в 1975 г. методом подбора; см. [467].

Рис. 409. В роли художника – ошибка в программе, опус 2

Авторство этой иллюстрации можно частично приписать ошибочному программированию. Ошибку вовремя распознали и исправили (после сохранения результата, разумеется!); конечным результатом вы можете полюбоваться на рис. 105.

Изменения, явившиеся результатом пустяковой ошибки в критическом месте, далеко превзошли наши наихудшие опасения.

Очевидно, что по замыслу в «правильном рисунке 105 должен был наличествовать весьма строгий порядок. Здесь этот порядок оказался скрыт от глаз, причем никакого другого порядка также не наблюдается.

То, что эта иллюстрация – по крайней мере, на первый взгляд – вполне может сойти за произведение высокого искусства, явно не случайно. Свои соображения на этот счет я вкратце высказал в [399] и намерен изложить их в полном виде в самом ближайшем будущем.

Рис. 410 и 411. Скопления галактик согласно ранней модели Мандельброта (размерность D=1,2600 ). Полет Леви и его промежуточные остановки

Полет Леви в грубом виде можно представить как последовательность скачков, разделенных остановками. Непосредственный интерес для нас в рамках этой главы представляют последние, однако и скачки являются необходимым элементом построения.

Например, изображенный на верхних (черных на белом) рисунках след движения включает в себя и «инверсионный след», оставляемый летящей ракетой. Трехмерный след показан с помощью двух его проекций на перпендикулярные плоскости. Оригинал можно представить, расположив страницы книги перпендикулярно друг другу.

Нижние рисунки (белые на черном) получены из верхних – в процессе исчезли отрезки, представляющие траектории скачков, а изображение было преобразовано в собственный негатив. Каждая промежуточная остановка символизирует собой звезду, галактику, либо просто некий обобщенный сгусток материи.

Говоря точнее, прямолинейные отрезки на верхних (черные на белом) рисунках имеют следующую особенность: их направление в пространстве случайно и изотропно (т.е. параллельно вектору, соединяющему начало пространственных координат с некоторой точкой, выбранной наугад на поверхности сферы). Различные отрезки статистически независимы, а их длины следуют распределению вероятностей Pr(U>u)=u −D , за исключением того, что Pr(U>u)=1 при u<1 . Значение D=1,2600 близко к значению D~1,23 , найденному для реальных галактик.