Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Аппенцеллер и Эмменталер.При очень малых значениях параметра C наши фракталы представляются мне (думаю, многие любители швейцарских сыров со мной в этом согласятся) похожими на ломтики сыра, почти целиком испещренные очень маленькими, «булавочными» отверстиями. Можно назвать такую форму приблизительной экстраполяцией структуры аппенцелльского сыра. По мере увеличения C мы постепенно переходим к столь же приблизительной экстраполяции структуры другого сыра, эмментальского, для которого характерны большие, перекрывающие друг дружку отверстия.

(Вот так выясняется, что английский детский стишок о Луне, сделанной из зеленого сыра, является истинным отражением реальности – за исключением, пожалуй, цвета.)

Топология. Критические значения D .Обе упомянутые выше экстраполяции могут быть лишь приблизительными, поскольку площадь трема – фрактальных «ломтей сыра» приближается к нулю. Выскажу предположение: пока параметр C достаточно мал, трема – фрактал представляет собой σ - кластер, каждый из контактных кластеров которого имеет вид переплетения связанных между собой нитей с топологической размерностью D T =1 . Когда размерность D достигает определенного критического значения D крит, размерность D T падает до нуля и σ - паутина коллапсирует в пыль.

Следующее критическое значение D=0 . При C>2 поверхность Луны перенасыщена кратерами – любая из ее точек почти наверное принадлежит, по меньшей мере, одному кратеру. Так, в частности, обстояло бы дело, если бы поверхность Луны никогда не очищалась от кратеров и продолжала бы бесконечно принимать на себя удары метеоритов.

Немасштабируемые кратеры.Плотность кратеров, покрывающих поверхности некоторых других планет (наша Луна в их число не входит), характеризуется выражением вида Ws −γ , где γ≠1 . С задачей, которую ставят перед нами такие кратеры, мы разберемся в приложении к настоящей главе.

Рис. 424 и 425. Малые круговые тремы (белые) и случайные «швейцарские сыры» (размерности D=1,9900 и D=1,9000 )

Тремы на этих иллюстрациях представлены в виде белых кругов. Их центры распределены на плоскости случайным образом. Площадь круга ранга ρ равна K(D−2)/ρ ; выбор числовой постоянной осуществляется, исходя из соображений соответствия трема – модели, описанной в тексте главы. На рис. 424 мы видим нечто похожее на сыр аппенцеллер в разрезанном виде (размерность черной области D=1,9900 ), поверхность же, изображенная на рис. 425, напоминает об эмментальском сыре (размерность черной области D=1,9000 ).

Рис. 426 и 427. Большие круглые тремы (черные) и случайные разветвленные белые нити (размерности D=1,7500 и D=1,5000 )

Построение этих фигур сходно с построением фигур, изображенных на рис. 424 и 425, только здесь тремы черные, а их площадь больше (настолько больше, что свободного места почти нет). Под D подразумевается размерность белой фрактальной области, оставшейся невырезанной.

Хотя круговые тремы с некоторых пор обрели независимое и общепризнанное существование в виде лунных кратеров, шарообразным тремам с масштабно-инвариантным распределением приходилось поначалу довольствоваться ролью естественного приложения этого же геометрического приема к пространственному случаю. Я предположил, что шарообразные тремы смогут явиться основой для построения галактической модели, альтернативной той, что описана в главе 32. Тем самым я постулировал существование межгалактических пустот, объединяющих в себе большое количество трем и способных достигать очень больших размеров. Хорошее соответствие реальности, продемонстрированное получившейся моделью, оказалось весьма приятным сюрпризом и потребовало дальнейших теоретических (см. главу 35) и экспериментальных изысканий.

Ковариантности.Так как статистики и физики имею обыкновение доверять корреляциям и спектрам, первое испытание трема – фракталов в роли моделей скоплений галактик опирается на их корреляционные свойства. Ковариантность между двумя точками в пространстве оказывается такой же, как и в модели, основанной на случайных блужданиях, - в этом нет ничего удивительного, так как последняя модель хорошо согласуется с данными наблюдений. То же верно (как, собственно, и должно быть) и для ковариантности между двумя направлениями в небесах. Предсказываемые данной моделью ковариантности между тремя и четырьмя направлениями соответствуют реальности лучше, чем те, что дает модель случайных блужданий, однако улучшения носят чисто технический характер, и их рассмотрение едва ли отвечает нашим целям и задачам. В сущности, при определенном значении D различные модели дают одинаковые корреляции.

А теперь вспомним о том, что гауссовы феномены, включая броуновские и дробные броуновские фракталы, полностью характеризуются своими ковариантностями. Если же упомянутые феномены масштабно - инвариантны, то они полностью характеризуются размерностью D . Учитывая влияние гауссовых феноменов на мыслительные процессы, происходящие в головах статистиков, возникает сильное искушение остановиться на ковариантностях. Однако фрактальная пыль не является гауссовым феноменом, а ее размерность D оказывается неспособной описать многие важные ее свойства.

Критические размерности.Необходимо разобраться еще с одним вопросом, более фундаментальным, чем корреляция: обладают ли трема – фракталы соответствующей топологией? Для этого лучше всего воспользоваться уже испытанным в предыдущем разделе способом: Будем увеличивать значение параметра C от 0 до 3, сохраняя затравку неизменной. Пока значение C мало, D T =2 , а наш фрактал представляет собой совокупность разветвленных вуалей. Когда значение D пересекает определенную границу D 2 крит, называемую верхней критической размерностью, вуали распадаются на нити с топологической размерностью D T =1 . Когда же значение D пересекает некоторую меньшую границу D крит(нижняя критическая размерность), нити расползаются в пыль (D T =0) . Поскольку для моделирования скоплений галактик необходима именно пыль, важно удостовериться, что размерность D критпревышает известную из наблюдений величину D~1,23 . Результаты проведенного мною компьютерного моделирования подтверждают соблюдение этого неравенства.