Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Отметим, что размерность D критможно считать определенной и для фракталов, описанных в главе 32, только в этом случае ее значение вырождено и равно max D=2 .

Вот и второй скелет загремел костями в шкафах большинства моделей распределения галактик. Во избежание завистливой (даже если она и справедлива) критики авторов этих самых моделей, рассмотрим какую-либо из моих собственных ранних моделей, проанализированных в главах 32 и 33. При значении размерности D , близком к экспериментальному (D~1,23) , показанные на иллюстрациях ограниченные участки пространства имеют, на первый взгляд, вполне достойный вид. Однако карты всего небесного свода, построенные на основании упомянутых моделей, оказываются совершенно неверными. Пустоты на этих картах включают в себя огромные области (покрывающие подчас более десятой части всего небосвода), абсолютно лишенные галактик в пределах любого заданного расстояния. В противоположность нашим картам, настоящие карты звездного неба (например, карта, составленная в Ликской обсерватории, см. [467]) выглядят весьма однородными, или изотропными – если, конечно, не рассматривать их отдельные участки в особо крупном масштабе. В таких случаях я говорю, что небосвод характеризуется низкой лакунарностью, тогда как в моих моделях лакунарность довольно высока.

«Очевидное» космологическое следствие.Это последнее обстоятельство где-то в начале 1970 гг. чуть было не ввело меня в соблазн неверной интерпретации картины звездного неба – такой, будто его размерность D представляет собой величину гораздо большую, нежели предложенное де Вокулером значение D~1,2 [104]. Насколько мне известно, ученые – космологи преклоняются перед идеей об однородной Вселенной и полагают, что на расстояниях, превышающих некоторый малый внешний порог; во Вселенной преобладает однородность (с размерностью D=3 ). Им ничего не стоит поспешить с выводами и счесть вышеописанное несоответствие подтверждением мнения, согласно которому фракталы с размерностью D~1,23 пригодны для описания лишь малой области Вселенной.

Лакунарность есть параметр, отличный от размерности D .По правде говоря, я намерен показать, что при изменении видимой лакунарности часто бывает возможно сохранить неизменной размерность D фрактала. Основная идея проиллюстрирована на рис. 439 с помощью двух весьма различных на вид ковров Серпинского с одинаковой размерностью D . Тот, что слева, демонстрирует бóльшие пустоты и является более лакунарным – как на первый взгляд, так и в соответствии с мерами, которые я вам вскоре представлю.

Истинное космологическое следствие.Напрашивающееся заключение о том, что наблюдаемая низкая лакунарность предполагает «малый» внешний порог Ω , является, возможно, слишком поспешным. Адвокат дьявола готов в жарких дебатах отстоять свои убеждения, согласно которым «мелкомасштабные» свидетельства в пользу размерности D~1,23 и «крупномасштабные» свидетельства в пользу почти полной изотропии вовсе не являются несовместимыми с должным образом построенной фрактальной моделью, в которой Ω=∞ . Его цель в этих дебатах заключается не в доказательстве ложности неравенства Ω<���∞ , но лишь в демонстрации того, что определение Ω требует дополнительных данных и большей тщательности.

Вопрос о величине внешнего порога Ω не обошел стороной и исследователей турбулентности. В главе 10 упоминалось о том, что, согласно Ричардсону [491], значение Ω в атмосфере чрезвычайно велико, тогда как большинство метеорологов полагают его малым. Таким образом, бóльшую часть замечаний из предыдущего раздела можно после некоторой модификации отнести и к турбулентности.

Ввиду отсутствия активных и громогласных поборников истинности равенства Ω=∞ , в теории турбулентности этот вопрос стоит не так остро, как при изучении распределения галактик, поэтому мне представляется более удобным рассматривать его именно в последнем контексте.

Понятие лакунарности (в отличие от понятия сукколяции) имеет смысл и на прямой, а значит, подтверждение приведенных в предыдущих разделах положений проще всего получить на примере линейной пыли. Из главы 8 нам известно, что размерность D канторовой пыли C на интервале [0,1] может достигать любого значения между 0 и 1 (исключая границы) самыми различными способами и что результаты совсем не обязательно выглядят похожими друг на друга.

Это верно даже тогда, когда C разбивается на некоторое заданное количество N равных частей. В самом деле, значения D и N определяют общую для всех частей длину r=N −1/D , но никак не ограничивают их размещения внутри интервала [0,1]. Как следствие, одинаковые значения D и N (а значит, и r ) могут соответствовать значительно отличающимся друг от друга распределениям частей.

Можно представить себе два крайних случая такого распределения. В первом случае все части собираются в две кучи, ограниченные, соответственно, 0 и 1. В середине при этом получается большой пустой промежуток, относительная длина которого 1−Nr=1−N 1−1/D очень близка к единице. Примером такого множества может служить горизонтальное среднее сечение левого ковра Серпинского на рис. 439. В сущности, тот же эффект достигается размещением длинного пустого промежутка в любом месте интервала [0,1].

В другом крайнем случае N частей разделяются N−1 пустотами одинаковой длины (1−Nr)(N−1) . Примером может служить горизонтальное среднее сечение правого ковра Серпинского на рис. 439. При случайном створаживании длины пустот почти одинаковы.

При N≫1 результат первого «крайнего» построения выглядит как несколько точек, имитируя тем самым размерность D=0 , тогда как во втором крайнем случае результат построения похож на «полный» интервал (размерность D=1 ). Можно, разумеется, сымитировать любую размерность между этими двумя крайними значениями, просто выбирая для N−1 пустот соответствующую совокупность интервалов, относительная длина которых составляет в сумме 1−Nr .

Различие между крайними случаями возрастает пропорционально увеличению значений N , 1/r и b . По внешнему виду минимально лакунарного фрактала с большим значением N довольно сложно определить его фрактальную размерность. При малых же значениях N сделать это очень легко. Таким образом, угадывание размерности D по одному лишь внешнему виду фрактала имеет свои ограничения. Занятие это ни в коем случае не является пустым времяпровождением (и мы совсем недаром посвятили ему столько места в предыдущих главах), однако в случае галактик оно приводит к неверным результатам.