Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Некоторую ясность в этот вопрос вносит по необходимости «изгнанный» в главу 39 раздел, посвященный нелакунарным фракталам. При ближайшем рассмотрении оказывается, что основной характеристикой нелакунарного фрактала является его размерность подобия (которая, как мы убедимся, равна 1) , а вовсе не хаусдорфова размерность. Здесь эти две размерности отличны одна от другой, причем последняя является более уместным воплощением фрактальной размерности.

При N≫1 и D>1 разумный выбор генератора может привести к одному из следующих четырех результатов: высокой лакунарности, низкой лакунарности, перистости, произвольно близкой к перколяции, либо полному отсутствию перистости. Таким образом, введенные нами два аспекта текстуры могут, в принципе, варьироваться независимо друг от друга.

За то короткое время, что я занимаюсь лакунарностью, мною обнаружено несколько различных, но равно достойных рассмотрения подходов к ее исследованию. К сожалению, не приходится ожидать, что получаемые при применении упомянутых подходов альтернативные меры окажутся монотонными функциями друг от друга. Они представляют собой вещественные числа, выбранные для представления формы кривой и, как следствие, сродни таким понятиям, как «средний человек» и «типичное значение случайной величины». Типичные значения являются неопределенными по самой своей природе – что есть печальный, однако непреложный факт (невзирая на решимость многих статистиков пожертвовать всем во имя защиты своих любимцев).

Представляется весьма удобным измерять степень лакунарности канторовой пыли по относительной длине наибольшего пустого промежутка. В плоских же фигурах (таких, например, как представленные на рис. 439) лакунарность, с достаточной степенью точности, обратно пропорциональна отношению периметра тремы к квадратному корню из ее площади. Можно, однако, вывести и более многообещающий способ измерения лакунарности, и источником его послужит распределение размеров пустот.

Из главы 8 нам известно, что длины пустот канторовой пыли удовлетворяют соотношению Nr(U>u)∝Fu −D в том смысле, что зависимость lnNr(U>u) , рассматриваемая как функция от ln u , имеет график правильной ступенчатой формы. В настоящем обсуждении мы не намерены вносить какие-либо изменения в последний результат, за исключением того, что на первый план здесь выходит префактор F , которому ранее не придавалось особого значения.

Приходится признать, что данное нами определение F несколько произвольно. Можно, например, считать, что значение F относится к линии, соединяющей левые концевые точки ступеней лестницы, правые концевые точки или же средние точки. К счастью, подобные детали не имеют здесь никакого значения. По мере роста лакунарности величина префактора уменьшается, как бы мы его ни определили (в разумных пределах, конечно же). То же верно и для масштабных коэффициентов объемов и площадей, относящихся к коврам Серпинского и фрактальным пенам. Во многих случаях рост степени лакунарности происходит из-за схлопывания многих пустот в один – единственный пустой промежуток бóльшего размера. При этом график ступенчатой функции «скользит» в направлении на 4 ч 30 мин, т.е. в направлении, более крутом, чем общий наклон лестницы − D/E , вызывая тем самым вышеупомянутое уменьшение F .

Таким образом, мы видим, что в пределах довольно обширного (и все же особого) класса фракталов, куда входят канторовы пыли и ковры Серпинского, лакунарность можно измерить (а стало быть, и определить) с помощью префактора F .

Применимость этого определения, однако, весьма ограничена. Оно не годится уже для случая, когда в середину большого центрального медальона ковра помещается другой, меньший, ковер. Следовательно, нам необходимо отыскать альтернативные определения. Самым подходящим представляется замена F более широко применимым префактором из соотношения M(R)∝R D .

Для описания нерекурсивно построенных фракталов (например, случайных фракталов) нам необходимы какие-то иные способы определения лакунарности. Способы, описанные в этом и следующем разделах, представляет собой всего лишь статистические усреднения (даже в случае неслучайной канторовой пыли).

Рассмотрим для начала канторовы пыли, представляющие собой горизонтальные сечения двух фигур, изображенных на рис. 439. Положим общую массу каждой пыли равной 1 и рассмотрим массу, содержащуюся в различных подынтервалах одинаковой длины 2R=2/7 . В левом, более лакунарном, примере эта масса изменяется в довольно широких пределах (от 0 до ½ ), тогда как в менее лакунарной фигуре справа изменения массы происходят лишь в небольшой окрестности некоторого среднего значения. К сожалению, в случае регулярной канторовой пыли весьма сложно точно вычислить распределение масс; в этом смысле гораздо удобнее рассмотреть более простой случай полностью случайной канторовой пыли D .

Предположим, что пыль D пересекает интервал [0,1], и обозначим ожидаемую в этом интервале массу через (W) (причина такого обозначения вскоре прояснится). Если выбрать внутри интервала [0,1] некий малый интервал [t,t+2R] , то ожидаемая в этом интервале масса будет равна, как и полагается, 2R(W) . Однако, исключив малоинтересные случаи, где масса обращается в нуль, мы обнаружим, что ожидаемая масса возросла до 2r D (W) . Ее значение зависит теперь от D - и ни от чего другого. (это означает, что вероятность пересечения нашей пылью интервала [0,1] равна (2R) 1−D .) Иными словами, саму массу можно записать в виде W(2R) D , где W - некоторая случайная величина: иногда большая, в других случаях малая, но в среднем равная (W) , независимо от степени лакунарности.

Копнем теперь глубже и выясним, насколько сильно действительные значения W/(W)−1 отличаются от нуля. Общепринятой мерой такого отклонения является ожидаемое значение выражения второго порядка (W/(W)−1) 2 , записываемое как <(W/(W)−1) 2> . В тех случаях, когда невооруженным глазом видна низкая лакунарность фрактала, значение лакунарности второго порядка также мало, когда же степень лакунарности фрактала очевидно высока, значение лакунарности второго порядка велико. Таким образом, величину (W/(W)−1) 2 можно считать кандидатом в определители лакунарности. Имеются и достаточно привлекательные альтернативные варианты (например, <|W/(W)−1|> ), однако они гораздо сложнее в оценке, нежели средний квадрат.