Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Случайная изотропия.На первом из вышеописанных альтернативных уровней случайности изотропия требует инвариантности выборки при повороте. На втором – выборка поворотов должна иметь однородное распределение. На третьем же необходимо лишь, чтобы инвариантным при повороте был сам процесс.

Стратификация.Исходя из вышеприведенных определений, длина (площадь, объем) трем, в принципе, допускает стратификацию, т.е. ограничение коэффициента подобия значениями вида r k . Однако при этом сложно провести границу между эффектами стратификации и обобщения форм трем, так что от стратификации придется отказаться.

В одном из разделов главы 34 показано, что если фрактал «почти» перколирует (т.е. он принадлежит к некоторому семейству с вполне определенной критической размерностью D крит, а его собственная размерность D «всего лишь чуть-чуть» ниже критической), то следует ожидать, что его структура будет перистой. Иными словами, требуемые размерность D и интенсивность перистости структуры могут быть достигнуты совместно, если среди параметров модели числятся одновременно и D , и D крит.

В случае трема - фрактала параметрами являются вещественное число D и некоторая функция, задающая трема – генератор. Позвольте мне продемонстрировать, что размерность D критявляется ничем иным, как функцией от этого последнего параметра: можно добиться того, что ее значение окажется произвольно близко к E , а если E>2 , то можно сделать так, что размерность D критбудет произвольно близка к 1.

Случай, когда критическая размерность D крит произвольно близка к E .Для реализации такой размерности достаточно взять в качестве генератора произвольно тонкую иглу или плоский блин с фиксированной формой, но изотропно ориентированными осями (см. рис. 446). Для доказательства этого утверждения в случае плоскости (E=2) заметим, что при заданном произвольном значении D<2 размеры и направление трем, а также расположение их центров можно выбирать только сообразуясь с коэффициентом плоскостности генератора. Далее рассмотрим квадрат со стороной L , а все тремы разделим на три группы: средние тремы (площади трем меньше πL 2 /10 , но больше πη 2 ), большие тремы и малые тремы. В случае, когда величина D много больше D крит(по отношению к дискообразным тремам), а тремы представляет собой едва сплющенные диски, картина напоминает ту, что мы видели в главе 33: средние тремы, по большей части, образуют отдельные пустоты, окруженные в высшей степени связным множеством. Однако если тремы сплющены почти в прямые, то они почти наверное разобьют наш квадрат на малые несвязные многоугольники. Добавление малых сплющенных трем может привести только к дальнейшему разбиению упомянутых многоугольников. Добавление же больших трем может либо полностью стереть квадрат, либо рассечь его на части, либо оставить без изменений. В последнем случае перколяция становится невозможной. То есть я только что продемонстрировал, что посредством сплющивания трем можно увеличить критическую размерность D критдо значений, превышающих любое заданное D<2 .

Обобщение для случая E>2 представляется очевидным.

Тот же эффект достигается и в случае E≥2 (а также распространяется на случай E=1 ), если в качестве трема – генератора взять область, заключенную между двумя концентрическими сферическими поверхностями, причем радиус бóльшей сферы должен быть много больше единицы.

Случай, когда критическая размерность D крит произвольно близка к 1.Рассуждая эвристически, можно предположить, что при E≥3 и почти иглообразных тремах величина критической размерности D критбудет произвольно близка к единице.

В одном из разделов главы 34 показано, как можно управлять лакунарностью в случае стратифицированных длин трем. А сейчас давайте занесем на скрижали (без особых, правда, подробностей) следующее замечание: той же цели можно достичь и посредством изменения трема – генератора. Мы воспользуемся той мерой лакунарности (из упомянутых в главе 34), которая определяется через величину внешнего порога Ω .

Вообще-то мы предпримем предварительно еще один шаг и введем двойной порог, ограничив линейный масштаб трем следующими величинами: ε>0 и Λ<���∞ .

Нетрудно убедиться в том, что случайным образом выбранная точка по-прежнему принадлежит с вероятностью (ε/Λ) E−D получающемуся в результате усеченному трема – фракталу. Затем распределим по нашему множеству некоторую массу с плотностью ε D−E . Префактор β=αΩ D−E из главы 34 окажется при этом равным Λ D−E . Если переход к ε→0 выполнить должным образом, то выражение остается справедливым и для ε=0 . Следовательно, Ω=Λα 1/(E−D) .

(При альтернативном определении порога Ω его величина выражается следующим образом: Ω=Λα 1/(E−D)(D/E) 1/(E−D) .)

Остается вычислить величину α . Как выясняется, она зависит от общей формы трема – генератора и достигает наибольших значений, когда генератор представляет собой интервал (диск, шар). Она может быть и произвольно малой; соответственно малым оказывается при этом и внешний порог Ω .

Если трема заключена между двумя концентрическими сферами с радиусами α≫1 и β≫1 , то результат получается очень простой: Ω∝1/α .

Таким образом, вполне возможно добиться того, что , а следовательно, и ковариантность распределения масс произвольно быстро перейдет к такому поведению, какое наблюдается в асимптотической области, т.е. плотности в двух точках, расстояние между которыми превышает Ω , станут эффективно независимы одна от другой.

Странно, что уменьшение лакунарности (через уменьшение параметра α ) достигается посредством растягивания генератора. Скорее, следовало бы ожидать, что все более растягивающий генератор приведет к увеличению размеров предасимптотической области. Этот факт еще раз подчеркивает, что поведение величины (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты M(R) (а значит, и относительной ковариантности распределения масс) дает лишь частичную картину структуры множества. Много дополнительной информации несут в себе более высокие моменты M(R) , однако рассматривать их здесь мы уже не будем.