Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Подведем итоги: мы вышли за рамки соотношения «масса пропорциональна R D » и обратили отдельное внимание на префактор пропорциональности массы величине R D . Отметим также, что понятие лакунарности не имеет ничего общего с топологией и касается лишь различий во фракталах при одинаковом значении D ; возможность ее использования для сравнения фракталов с разными размерностями остается пока неисследованной.

Альтернативный подход к лакунарности связан с распределением массы в интервале [t,t+2R] при условии, что средняя точка 1+R интервала принадлежит пыли D . Из этого условия следует, что интервал [t,t+2R] пересекает D , однако обратное утверждение не обязательно истинно: если интервал [t,t+2R] пересекает D , то его средняя точка 1+R не обязательно принадлежит D . При таком, более строгом, условии ярче выраженной становится тенденция к устранению тех случаев, где масса оказывается значительно ниже среднего; в результате увеличивается ожидаемая масса. Иными словами, мы заменяем W новой величиной W * , при этом *>> . Значение отношения *>/ велико для очень лакунарных множеств D и мало для менее лакунарных множеств. Итак, перед нами еще один альтернативный кандидат на роль определителя и меры лакунарности: *>/ .

Рассматривавшиеся до сих пор подходы к описанию лакунарности являются внутренними, т.е. не подразумевают наличия какой бы то ни было внешней точки сравнения. Нам, однако, известно, что многие физические системы характеризуются конечным внешним порогом Ω . Такие системы допускают еще один подход к лакунарности – не такой общий, как два предыдущих, но гораздо более удобный.

В самом деле, заменим наше фрактальное множество D , в котором Ω=∞ , другим фрактальным множеством D Ω , которое «похоже на D » при масштабах, меньших Ω , и почти однородно при масштабах, больших Ω . Примером порога Ω может послужить, например, радиус перехода, при достижении которого размерность распределения галактик изменяется с D на D=3 . До сих пор этому переходу дозволялось существовать без точного определения, однако дальше так продолжаться не может. Идея заключается в том, что наблюдателю, расположившемуся на точке из множества D , порог Ω представляется размером наименьшего элемента, который необходимо исследовать, дабы получить достаточно полное представление о целом. Обитателю множества D Ω должно казаться, что менее лакунарный мир становится однородным очень быстро, более же лакунарный мир – очень медленно.

Немедленно возникает побуждение записать

=αR D при R≪Ω

и =βR E при R≫Ω

и доказать, что переход происходит при αR D =βR E , т.е. при Ω E−D =α/β . Следовательно,

=αΩ D−ER E при R≫Ω .

В малом варианте этого же подхода точка выбирается там, где две формулы имеют равные производные, следовательно, Ω *E−D =Dα/Eβ . При увеличении лакунарности (т.е. α ) и фиксированных значениях β и D возрастают как Ω , так и Λ * . Оба варианта являются очередными кандидатами, претендующими на место определителя и меры лакунарности.

Тот факт, что прямая способна при продольном смещении отображаться на самое себя, выражается фразой: «Прямая инвариантна при сдвигах». В главе же 22 заостряется внимание на том, что канторовы пыли обладают одним в высшей степени неприятным свойством: они не инвариантны при сдвигах. Например, оригинальная троичная пыль C и результат ее смещения на 1/3 даже не пересекаются. А вот пыль C и результат ее смещения на 2/3 пересекаются, причем пересечение содержит половину точек множества C .

Если же мы будем сдвигать максимально лакунарные канторовы пыли с N≫1 , то сколько-нибудь значительное перекрытие можно будет получить только при величине смещения, близкой либо к 1, либо к 0. В случае минимально лакунарных пылей, напротив, допустимая величина смещения может представлять собой (приблизительно) любое число, кратное 1/N .

Иными словами, для успешного применения канторовой пыли понятия инвариантности при сдвигах следует весьма значительно ослабить требования этой инвариантности, однако при низкой лакунарности пыли можно обойтись гораздо меньшим ослаблением.

В конце главы 22 мы пришли к выводу, что применить к фракталам инвариантность при сдвигах и космологический принцип возможно, если фракталы сделать случайными, а понятие инвариантности переформулировать к «условному» виду. Эта переформулировка, собственно, и является главной причиной введения случайных фракталов.

Процесс, используемый в этой главе для изменения сукколяции в ковре Серпинского и лакунарности в канторовой пыли и ковре Серпинского, предполагает возврат к описанию неслучайных и ранних случайных фракталов с точки зрения стратификации – весьма эффективный, но искусственный метод. В частности, ограничив коэффициенты подобия видом r k , мы обеспечиваем требуемую лакунарность ценой сужения диапазона самоподобия. При большом N (например, N=10 22 - см. пояснение к рис. 141) и соответственно малом r стратифицированность значительна и хорошо заметна.

Такой способ управления сукколяцией и лакунарностью, очевидно, нельзя считать приемлемым. Поэтому я рад, что мне удалось добиться того же и даже бóльшего с помощью простого обобщения метода трем, которое заключается в замене интервалов, кругов и шаров более общими фигурами, которые мы обсудим в следующей главе.

Как показано в соответствующем разделе главы 39, лакунарность фрактала может быть исчезающе малой.

Рис. 439. Лакунарность ковров

Рассмотрим ковры Серпинского, построенные с помощью следующих генераторов: