Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Место этой главы в настоящем эссе представляет собой в некотором роде результат компромисса. Логичнее было бы поместить такую главу в следующей части, однако некоторые ее разделы являются необходимым предисловием к главе 26.

Как мы знаем из главы 2, Жану Перрену пришла однажды в голову блестящая идея сравнить физическое броуновское движение с непрерывными недифференцируемыми кривыми. Идея Перрена послужила источником вдохновения для юного Норберта Винера, примерно в 1920 г. определившего и исследовавшего математическую реализацию броуновского движения, которую и сейчас нередко называют винеровским процессом. Много позже стало известно, что тот же процесс был подробно, хотя и не так строго, рассмотрен в докторской диссертации Луи Башелье [12] (см. также главы 37 и 39).

Странно, что само по себе броуновское движение – при всей своей чрезвычайной важности во многих других областях – не находит в настоящем эссе никакого нового приложения. Время от времени оно помогает вчерне набросать проблему, однако, и в этих случаях при дальнейшем ее рассмотрении оно непременно заменяется каким-либо другим процессом. И все же во многих случаях можно зайти, на удивление, далеко просто модифицируя броуновское движение; нужно только следить за тем, чтобы модификации оставались масштабно-инвариантными.

По этой и иным причинам остальные случайные фракталы нельзя оценить по достоинству без досконального изучения и понимания конкретных свойств этого их прототипа. Однако миллионы страниц, посвященных данной теме, либо упоминают вскользь, либо вовсе опускают некоторые весьма важные моменты, рассмотрением которых мы и займемся в настоящей главе. Если читатель сочтет, что мы заходим слишком далеко, он – как здесь принято – вполне может перейти к следующему разделу или даже к следующей главе.

К сожалению, термин «броуновское движение» неоднозначен. Во-первых, этим термином можно обозначить график выражения B(t) как функции от t . Если B(t) - ордината точки на плоскости, то график представляет собой плоскую кривую, подобным изображенным на рис. 338. Если B(t) - это точка в E - пространстве, то график представляет собой кривую (1+E) - пространстве (к E координатам точки B добавляется временнáя координата). Однако во многих случаях нас интересует всего лишь кривая в E - пространстве, которую броуновское движение оставляет за собой в виде следа. Когда след изгибается через равные промежутки времени, функция и след легко выводятся друг из друга. Однако в случае непрерывного броуновского движения эти два аспекта вовсе не эквивалентны, и обозначение их одним термином вносит путаницу.

Когда неоднозначность начинает угрожать ясности моих рассуждений, я разделяю термины и говорю либо о броуновской функции, либо о броуновском следе. Мы уже сталкивались с такой неоднозначностью при рассмотрении кривых Коха, однако здесь она более очевидна благодаря термину «движение».

Кроме того, переменная в броуновских функциях, рассматриваемых в главах 28 – 30, многомерна. Например, в одной из моделей земного рельефа в главе 28 предполагается, что высота точки поверхности является броуновской функцией от ее широты и долготы. Таким образом, часто возникает потребность в уточнении терминологии. При необходимости мы различаем броуновские функции и следы из прямой в прямую, из прямой в пространство, из пространства в прямую, из прямой в E - пространство и т.д.

Броуновские «поля».«Случайное поле» есть в действительности не рандомизированное (алгебраическое) поле, а всего лишь модный синоним (см., например, [13]) для термина «случайная ф1 нескольких переменных». Синоним этот ничем не оправдан, и его следует как можно скорее изъять из обихода, пока он не успел укорениться. Возник он, судя по всему, вследствие некомпетентного перевода с русского, как и термин «автомодельный» (его распространение я, к счастью, успел вовремя пресечь), появившийся в результате бездумного перевода русского термина «самоподобный».

Изучение броуновских следов проливает свет на природу кривых Пеано – и это при том, что броуновский след, как выяснилось, представляет собой не что иное, как рандомизированный вариант кривой Пеано. Я провел небольшой опрос среди случайно выбранной группы ученых, и ни один из них не признал идентичности этих двух построений; не упоминается об этом и в случайным образом отобранной мною (и тщательно просмотренной) пачке книг, посвященных данному предмету. Математики любыми способами избегают такого подхода, поскольку основная его составляющая (иерархия слоев с возрастающей детализацией, регулируемая двоичной временнóй решеткой) никак не связана с результатом построения. Это обстоятельство, по мнению математиков, придает данному подходу искусственный и надуманный характер – однако именно благодаря этому обстоятельству он замечательно вписывается в настоящее эссе.

Процесс можно начинать с любой кривой Пеано с N=2 и r=√2 . Хитрость заключается в последовательном снятии различных ограничений при продвижении по этапам.

Промежуточные фракталы – «пеано – броуновские гибриды» - заслуживают отдельного подробного изучения в более подходящей обстановке.

Трансверсальное срединное смещение.В конструкциях, изображенных на рис. 98 – 102, на (k+1) -м этапе построения k -й терагон трансформируется путем трансверсального срединного смещения каждого прямолинейного интервала на величину ΔM=√2 −k−1 влево или вправо, в зависимости от четности числа k .

Обозначим смещения кривой Пеано за промежуток времени Δt=t −k и за два половинных промежутка Δ 1 t и Δ 2 t через, соответственно, ΔP, Δ 1 P и Δ 2 P . Теперь теорему Пифагора можно записать так:

|ΔP| 2=|Δ 1P| 2+|Δ 2P| 2 .

Направления изотропных смещений.В качестве нашего первого отступления от правил построения любой кривой Пеано попробуем рандомизировать направления смещения. Один подход предполагает равную вероятность смещений вправо и влево, давая в результате этакую «случайную прыг – скок – кривую». Другой подход состоит в случайном (однородной плотности) выборе точки на окружности, размеченной в градусах, и использовании полученной таким образом угловой величины. Смещения, определяемые такой процедурой, называются изотропными.