Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Теорема Пифагора применима к любому из упомянутых способов рандомизации: приращения изотропного движения на двоичных подынтервалах двоичного же интервала геометрически ортогональны.

Длины случайных смещений.Второе отступление от правил неслучайного построения: рандомизации подвергается и длина смещения. Начиная с настоящего момента, под величиной 2 −k−1 следует понимать уже не квадрат неслучайного |ΔM| , а среднеквадратическое значение случайного |ΔM| . В результате величины смещения ΔP * удовлетворяют следующим выражениям:

<|Δ 1P *| 2>=<|Δ 2P *| 2>=¼<|ΔP *| 2>+<|ΔM| 2> ;

<|Δ 1P *| 2>+<|Δ 2P *| 2>=½<|ΔP *| 2>+2 −k .

Случайный инициатор.Следующим шагом будет использование в построении случайного инициатора, среднеквадратическая длина которого равна 1. Отсюда неизбежно следует, что <|ΔP *| 2>=2 −k−1 , и мы получаем пифагорову теорему для средних:

<|Δ 1P *| 2>+<|Δ 2P *| 2>−<|ΔP *| 2>=0 .

Иными словами, геометрически ортогональные отрезки заменяются отрезками, которые в теории вероятности называются статистически ортогональными или некоррелированными.

Независимые приращения.Срединные смещения можно теперь считать статистически независимыми, как внутри каждого отдельного этапа, так и между этапами.

Гауссовы приращения.Рандомизированная кривая Пеано становится броуновским следом B(t) тогда, когда срединные смещения следуют изотропному гауссову распределению. В плоскости квадрат модуля этой переменной распределяется экспоненциально. Следовательно, при прямом построении нам следует случайным образом выбрать на однородном интервале [0,1] точку U и определить модуль как |ΔM|=[−2lnU] ½ .

Обобщение на пространство.Окончательное построение имеет смысл и при E>2 .

Размерность D=2 .Теорема Пифагора для средних представляет собой обобщенное определение размерности подобия. Она применима и к броуновскому следу, поскольку размерность Хаусдорфа – Безиковича в этом случае также равна 2. В применимости же ее к случаю негауссова распределения величины смещения средней точки еще предстоит разобраться.

Множественные самопересечения.Даже если остановить рандомизацию после первого же этапа, описанного в предыдущем разделе процесса, она успевает полностью нарушить идеальные дальний и ближний порядки, благодаря которым кривые Пеано избегают самопересечений. Рандомизированные терагоны самопересекаются уже на начальных этапах построения, а предельный след почти, наверное, содержит бесконечное количество самопересечений.

Броуновские пустоты.Общеизвестно, что броуновский след, экстраполированный для всех значений t от −∞ до +∞ , плотно заполняет плоскость. Это свойство мы вскоре выведем заново. Однако след, ограниченный определенным промежутком времени, обладает собственной весьма примечательной геометрией – и я не припомню, чтобы ее кто-либо где-либо описывал.

Очевидно, в качестве компенсации за те точки, которые броуновский след B(t) покрывает за время t∈[0,1] несколько раз, остальные точки плоскости остаются непокрытыми. Эти непокрытые точки образуют открытое множество, которое разделяется на внешнее множество, содержащее точку в бесконечности, и бесконечное количество непересекающихся броуновских пустот. И внешнее множество, и каждая пустая область ограничены фрактальными кривыми, которые являются подмножествами следа. Следовательно, броуновский след можно считать фрактальной сетью – наглядные подтверждения этому вы найдете на рис. 340 и 341.

В главе 14 описана сеть с размерностью D , в которой число пустот площади U , превышающей некоторое заданное значение u , определяется соотношением Nr(U>u)∝u −D/E . В случайном контексте при D=E=2 формальное обобщение имеет вид P(u)=Pr(U>u)∝u −1 . Однако в данном случае оно неприменимо, так как должен сходиться интеграл 0∫P(u)du . В связи с этим я предполагаю, что P(u)=Pr(U>u)∝u −1L(u) , где L(u) - некая медленно изменяющаяся функция, которая убывает достаточно быстро для обеспечения сходимости упомянутого интеграла. Из-за необходимости введения непостоянной величины L(u) размерность D=2 в самоподобной разветвленной сети оказывается недостижима – точно так же, как недостижима она и в самоподобной простой кривой (см. главу 15).

Нулевая площадь броуновской сети.Несмотря на размерность броуновской сети (D=2) , ее площадь равна нулю. То же должно быть верно и для пеано – броуновских гибридов.

Неограниченный след плотен в плоскости.Это свойство основывается на том факте (который мы установим несколько позже, когда будем говорить о нуль - множествах), что неограниченный след бесконечно часто «возвращается» в любую заданную плоскую область D - такую, например, как диск. А если взять любую произвольно малую область D и совместить ее центр с произвольной точкой P на плоскости, то станет ясно, что неограниченный броуновский след подходит к каждой точке плоскости бесконечно много раз и на произвольно близкое расстояние.

Однако – в чем мы убедимся при рассмотрении тех же нуль – множеств – вероятность того, что некий конкретный след точно попадет в некую заданную точку, равна нулю, т.е. заданная точка почти наверняка оказывается не затронутой неограниченным следом.

Часть неограниченного следа, заключенную внутри области D , можно приближенно представить себе в виде исчислимо бесконечного множества независимых ограниченных сетей, наброшенных на область D . Результат напоминает исчислимо бесконечное множество точек, выбранных случайным образом и независимо друг от друга из интервала [0,1]. Общеизвестно, что такое множество везде плотно, однако длина его равна нулю.

Величина √ t в качестве коэффициента подобия характерна для большинства аспектов броуновского движения. Например, если измерить по прямой расстояние, которое покрывает броуновское движение за время t , то мы получим случайную величину, кратную √ t . Аналогичным образом и общее время, проведенное броуновской точкой внутри окружности радиуса R с центром в точке B(0)=0 , представляет собой случайную величину, кратную R 2 .

Определив величину, пропорциональную времени, затраченному броуновским следом на прохождение того или иного своего участка, как «массу», а затем «взвесив» эти самые участки, мы обнаружим, что – как в плоскости, так и в пространстве (E≥2) - общая масса, заключенная внутри окружности радиуса R , определяется соотношением M(R)∝R 2 .